Zależność zmiennych losowowych

[studenttt91]

Mam do zrobienia takie zadanie:
Pokazać, że jeśli wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) przyjmuje każdą z wartości \(\displaystyle{ (-1,0)}\), \(\displaystyle{ (1,0)}\), \(\displaystyle{ (0,-1)}\) z jednakowym pradopodobieństwem to \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zależne ale \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0}\)
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ P\left( (X,Y) = (-1,0)\right) = P\left( (X,Y) = (1,0) \right) = P\left( (X,Y) = (0,1)\right) = p}\). Przyjąłem, że to rozkład skupiony na \(\displaystyle{ \left\{ (-1,0),(1,0),(0,0),(-1,1),(1,1),(0,1)\right\}}\) i w pozostałych punktach prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ q}\)
Wyznaczam rozkład brzegowy \(\displaystyle{ P(X=-1)=p+q}\), \(\displaystyle{ P(Y=0)=2p+q}\)
i \(\displaystyle{ P\left( (X,Y)=(-1,0) \right) \neq P(X=-1) P(Y=0)}\) czyli są zależne
\(\displaystyle{ EX= (-1)(p+q)+1(p+q)+0(p+q)=0}\) podobnie \(\displaystyle{ EY}\) i \(\displaystyle{ EXY}\) czyli \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0}\). Jest to dobrze?