Zbieżność prawie wszędzie

[porucznik]

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, Y_{1},X_{2}, Y_{2},...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla funkcji borelowskiej\(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow[0,1]}\) definiujemy \(\displaystyle{ Z_{i} = \mathbf{1}_{\lbrace f(X_{i})>Y_{i} \rbrace }}\).

a) Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_{i}}\) jest prawie wszędzie zbiezny.

b) Obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_{i}}\).

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Pozdrawiam.

[robertm19]

Zbieżność wynika wprost z prawa wielkich liczb(\(\displaystyle{ Z_{i}}\) niezależne o tych samych rozkładach)
Granica również i wynosi
\(\displaystyle{ EZ_{i}=P(f(X_{i})>Y_{i})=\int_{0}^1 f(x)dx}\)

[porucznik]

Możesz wytłumaczyć mi dlaczego

\(\displaystyle{ P(f(X_{i})>Y_{i})=\int_{0}^1 f(x)dx}\)

?

[robertm19]

Narysuj sobie kwadrat \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) i funkcję f(X) określoną na [0,1]. \(\displaystyle{ f(X)>Y}\) spełniają takie (x,y)gdzie y jest pod wykresem, czyli jest to pole pod wykresem funkcji. A pole pod wykresem to całka.

[porucznik]

Niestety nie rozumiem. Wydawało mi się, że żeby policzyć takie prawdopodobieństwo, trzeba najpierw rozważyć rozkład łączny \(\displaystyle{ (f(X),Y)}\), wtedy dopiero policzyć całkę po obszarze \(\displaystyle{ D: \lbrace (x,y): f(x) > y \rbrace}\)

[robertm19]

Nie trzeba tego liczyć. Wystarczy rozkład \(\displaystyle{ (X,Y)}\).
Jeżeli byłoby \(\displaystyle{ f(x)=2x}\) to umiałbyś policzyć? ( widać że bierzemy obszar poniżej wykresu funkcji)
Teraz sobie wyobraź dowolną funkcję

[porucznik]

Rzeczywiście. Korzystamy po drodze z niezależności \(\displaystyle{ (X,Y)}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) = \mathbf{1}_{[0,1]}(x) \cdot \mathbf{1}_{[0,1]}(y)}\) i po obliczeniu całki rzeczywiście dostaniemy

\(\displaystyle{ EZ_{i}=P(f(X_{i})>Y_{i})=\int_{0}^1 f(x)dx}\)

, a funkcja borelowska ograniczona jest całkowalna zatem \(\displaystyle{ E|Z_{i}|<\infty}\), czyli zachodzi MPWL. Dzięki!