Bardzo Proszę o pomoc w zadaniach ze stochastycznych równań różniczkowych.
Zadanie 1.
Znajdź rozkład zmiennej losowej W(1)-4W(2)+3W(4)
Zadanie 2.
Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej \(\displaystyle{ \xi = \int_{0}^{2} t^{3} dW(t)}\). Odpowiedż uzasadnij. Dodatkowo podaj rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \xi}\).
Zadanie 3.
Niech \(\displaystyle{ T=[0; infty )}\) i niech zmienna \(\displaystyle{ \tau:\Omega \rightarrow T}\) będzie momentem zatrzymania względem filtracji \(\displaystyle{ (F_{t}:t\in T)}\) określonej na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ (\Omega, F, P)}\). Czy zmienna \(\displaystyle{ \tau^{2}}\) musi być momentem zatrzymania? A zmienna \(\displaystyle{ \tau +1}\)?
Zadanie 4.
Rozwiąż Stochastyczne równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ dX(t)= \frac{2+t}{1+t}X(t) dt+ \frac{1}{1+t} dW(t)}\)
Z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ X(0)=0}\). Przedyskutuj istnienie i jednoznaczność rozwiązania.
Zadanie 5.
Niecha dany będzie proces Wienera \(\displaystyle{ B=(B(t):t \ge 0)}\) i niech \(\displaystyle{ G_{t}=\sigma(B(s):s\in [0,t]) dla t \ge 0}\). Niech:
\(\displaystyle{ G^{+}_{t}= \cap_{s\in(t, \infty )} G_{s}}\)
dla ustalonego \(\displaystyle{ c \ge 0}\) definiujemy proces \(\displaystyle{ X=(X(t):t \ge 0)}\) wzorem \(\displaystyle{ X(t)=B(t+c)-B(c)}\). Wykaż że proces X jest niezależny od \(\displaystyle{ \sigma}\) -ciała \(\displaystyle{ G^{+}_{c}}\)