funkcja gęstości na prawie całym R

[wasikuss]

Witam,

mam problem z rozwiązaniem zadania gdzie funkcja gęstości nie jest oparta na zamkniętym przedziale.
z zadaniami gdzie gęstość jest dla
\(\displaystyle{ x \in (a,b)}\)
nie sprawia mi problemu, kłopot zaczyna się dla takiego zadania:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{c}{x^2}: & |x| > 1\\
0: & |x| < 1
\end{matrix}\right.}\)

Oblicz:
a) stała c
b) dystrybuantę i jej wykres
c) P(X = 3), P(X < 1), P(X \(\displaystyle{ \ge}\) 1.5)
d) EX, DX, \(\displaystyle{ X_{0.5}}\), \(\displaystyle{ m_{0}}\)

tak naprawdę interesuje mnie tylko dystrybuanta bo z jej pomocą już rozwiąże resztę.
dałem całe zadanie bo zapisze później swoje odpowiedzi dla upewnienia się czy dobrze rozwiązlem

Ad a)
po paru uproszczeniach
\(\displaystyle{ c\left(\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^2}dx + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx\right) = 2c}\)
a że pole pod gęstością wynosi 1 to
\(\displaystyle{ 2c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}}\)

Ad b) i tu zaczyna sie kłopot...
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x} f(x)dx}\)
nie wiem jak zastosować ten wzór na 2 przedziałach
dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty, -1) \Rightarrow \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2x^2}dx =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*\left|-\frac{1}{x}\right|_{-\infty}^{x} = \frac{1}{2}*[(-\frac{1}{-\infty}) - (-\frac{1}{x})] = \frac{1}{2} * \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}}\)

ale co dalej? jak zastosować to dla drugiego przedziału? to jest dobrze?
\(\displaystyle{ \int_{1}^{x} \frac{1}{2x^2}dx}\)
jeżeli tak to suma wyników całek wynosi dokładnie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)
pozdrawiam,
KW

[szw1710]

Musisz rozważyć przypadki: dla \(\displaystyle{ x\le -1}\) masz po prostu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^x}\). Dla \(\displaystyle{ x>1}\) masz \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-1}+\int_1^x}\). Przypadek "środkowy" rozważ sam.

[wasikuss]

OK, w takim razie
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x}f(x)dx = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2x^2}dx + \int_{-\infty}^{x} 0 dx + \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2x^2}dx + \int_{1}^{x} \frac{1}{2x^2} =\\\\\\
(-\frac{1}{2*x} - (-\frac{1}{2*\infty})) + 0 + (-\frac{1}{2*(-1)} - (-\frac{1}{2*\infty})) + (-\frac{1}{2*x} - (-\frac{1}{2*1}))=\\
1 - \frac{1}{x}}\)
coś jest nie tak, bo dla x < -1 dystrybuanta przekracza jedynkę

a jeżeli każdy przypadek osobno rozważam a nie razem to i tak nadal jest ten sam problem