Łańcuch Markowa i granica

[jackie]

Witam, zadanie brzmi:
Macierz przejścia łańcucha \(\displaystyle{ (X _{n}, n \ge 0 )}\) o przestrzeni stanów \(\displaystyle{ E=\left\{ 0, 1, 2\right\}}\) dana jest przez \(\displaystyle{ P = \left[ p _{ij} \right] i,j=0,1,2..}\)

P=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0.5&0.5\\0.5&0&0.5\\0.5&0.5&0\end{bmatrix}}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ P(X _{1} = 1 )}\).
Ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } P(X _{n} = i )}\) dla \(\displaystyle{ i = 0, 1, 2.}\)

Mogłabym prosić o krótkie wyjaśnienie jak się do takiego zadania zabrać, co jest czym i w ogóle jak interpretować tą granicę? -- 11 cze 2013, o 22:01 --Wiem, że nie wypada pisać post pod postem;d
Jeśli ktoś wie, to proszę o wyjaśnienie jak mam interpretować "przestrzeń stanów" czy to że zawiera 3 elementy ma związek z tym że macierz przejścia jest rozmiaru 3 na 3, czy może coś jeszcze?
Jak odczytać \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } P( X _{1} =1 )}\) i inne podobne granice?
Czy to jest prawdopodobieństwo że w 1 "ruchu" dostaniemy stan nr 1 z przestrzeni \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2\right\}}\)?

[Vardamir]

Wiem, że nie wypada pisać post pod postem;d
Jeśli ktoś wie, to proszę o wyjaśnienie jak mam interpretować "przestrzeń stanów" czy to że zawiera 3 elementy ma związek z tym że macierz przejścia jest rozmiaru 3 na 3, czy może coś jeszcze?

Tak. Macierz opisuje wszystkie możliwe przejścia z jednego do drugiego stanu.

Jak odczytać \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } P( X _{1} =1 )}\) i inne podobne granice?
Czy to jest prawdopodobieństwo że w 1 "ruchu" dostaniemy stan nr 1 z przestrzeni \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2\right\}}\)?

W zadaniu trzeba znaleźć rozkład niezmienniczy, czyli taki że \(\displaystyle{ \pi P = \pi}\)

Czy to jest prawdopodobieństwo że w 1 "ruchu" dostaniemy stan nr 1 z przestrzeni \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2\right\}}\)?

Tak.

[jackie]

Czyli według macierzy przejście ze stanu w którym się znajduję do tego samego jest niemożliwe,więc tego przypadku w ogóle nie biorę pod uwagę, a każde inne ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Wiec otrzymujemy stan 0 z prawdopodobieństwem:

dla 1 przejścia mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

dla 2 \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

dla 3 \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)

dla 4 \(\displaystyle{ \frac{5}{16}}\)

dla 5 \(\displaystyle{ \frac{11}{32}}\)

Czy w takim razie zaczynając od stanu 1 granica \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } P(X _{n}=0 )}\)
może zostać przedstawiona za pomocą takiego wzoru?
\(\displaystyle{ a _{n} = \left( 1-a _{n-1}\right) \frac{1}{2}}\)
czy trzeba to przedstawić niezależnie od poprzedniego wyniku?