Prawdopodobieństwo, nierówność dwóch liczb w przedziale

[marcus255]

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla dwóch dowolnych liczb
\(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\)
zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ x+y \le 1}\) i \(\displaystyle{ xy \le \frac{2}{9}}\)

Proszę o pomoc

[kolorowe skarpetki]

W czym tkwi Twój problem z rozwiązaniem? Należy skorzystać z prawdopodobieństwa geometrycznego.

[marcus255]

Dzięki! (: Szukałem zbyt daleko, a odpowiedź była tak blisko...

zatem \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} =1}\) a zdarzenie sprzyjające to po uwzględnieniu warunków

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= \int_{0}^{1} (-x+1) dx -( {\int_{ \frac{1}{3} }^{ \frac{2}{3} } (-x+1) dx}-\int_{ \frac{1}{3} }^{ \frac{2}{3} } \frac{2}{9x} dx)}\)

Dobrze myślę?

//edit
Albo źle myślę, albo pomyliłem się w rachunkach, bo wychodzi mi prawdopodobieństwo 0,25, a wykres na wolframalpha.com pokazuje na wykresie że będzie to nieco mniej niż 0,5 : /

//edit2
Poradziłem sobie, zsumowałem funkcję liniową w pierwszym i trzecim przedziale, a hiperboliczną w drugim.
Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,486}\)

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \Omega= \left \{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2: \, x,y \in [0,1] \, \right \} , \quad m (\Omega)=1}\)

\(\displaystyle{ A=\left \{ \, (x,y) \in \Omega: \,y \leq 1-x \, \wedge \, y \leq \frac{2}{9x} \, \right \} , \quad m(A)=\frac{1}{2} - \int \limits_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \left (1-x - \frac{2}{9x} \right ) dx=\ldots}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}}\)