Nierówność Czebyszewa

[Nesquik]

Rzucono \(\displaystyle{ 1024}\) razy symetryczną monetą. Posłużyć się nierównością Czeby-
szewa do wyznaczenia przedziału, w którym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\)
znajdzie się liczba otrzymanych reszek.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to prawdopodobienstwo zajscia pojedynczej próby
dla \(\displaystyle{ 1024}\)
\(\displaystyle{ EX=512}\)
\(\displaystyle{ Var=256}\)
Jak teraz zapisac te nierówność korzystajac z podanego prawdopodobieństwa?

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę reszek. Zwykła nierówność Czebyszewa Ci nie pomoże, polecam nierówność Czebyszewa-Bienyame. Na mocy tej nierówności wiemy, że \(\displaystyle{ P(|X-E(X)|\geq x)\leq \frac{Var(X)}{x^{2}}}\). Zakładam, że wariancja została wyznaczona poprawnie, wtedy prawa strona to \(\displaystyle{ \frac{256}{x^{2}}}\). Łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x=160}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ P(|X-E(X)|\geq 160)\leq \frac{1}{100}}\), co oznacza, że na mocy tej nierówności liczba reszek z prawdopodobieństwem co najmniej \(\displaystyle{ 0,99}\) znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ <352,672>}\). Na tym przykładzie widać wyrażnie jak słabe ograniczenie daje nam ta nierówność.