wyznaczyć gęstość

[pchelaa]

Zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) sa niezależne i mają rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X+2Y+1}\).

[kolorowe skarpetki]

Spróbuj skorzystać z poniższych twierdzeń i ze wzoru na gęstość rozkładu normalnego.

Twierdzenie nr 1:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m,\sigma)}\) , \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) , \(\displaystyle{ \sigma >0}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\). Wówczas zmienna losowa:

\(\displaystyle{ aX+b \in \mathcal{N} (am+b, \vert a \vert \sigma)}\).

Twierdzenie nr 2:
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m_1,\sigma_1)}\) , \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m_2,\sigma_2)}\) , \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\). Wówczas zmienna losowa:

\(\displaystyle{ aX+bY \in \mathcal{N} \left (am_1+bm_2, \sqrt{a^2\sigma_1^2+b^2 \sigma_2^2} \right )}\).