Znów powracam z zadaniem z prawdopodobieństwa:
Mówimy że zdarzenia A, B, C są niezależne jeżeli każde dwa z pośród nich sa niezależne oraz \(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C)=P(A)*P(B)*P(C)}\). Rzucono trzema monetami i okreslono zdarzenia A- wypadła reszka na pierwszej monecie, B- wypadła reszka na drugiej monecie, C- wypadła reszka na trzeciej monecie. Wykaż że zadarzenia A B C są niezależne.
Trzy monety
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Trzy monety
Niech:
\(\displaystyle{ \Omega=\{RRR,OOO,ORO,OOR,ROO,ROR,ORR,RRO\}\\\overline{\overline{\Omega}}=8}\)
A - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na pierwszej monecie
B - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na drugiej monecie
C - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na trzeciej monecie
\(\displaystyle{ A=\{RRR,ROO,ROR,RRO\}\\
B=\{RRR,ORO,ORR,RRO\}\\
C=\{RRR,OOR,ROR,ORR\}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}}\)
Latwo wykazac, ze zdarzenia te parami sa niezalezne.
Sprawdzmy warunek:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ A\cap B\cap C=\{RRR\}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=\frac{1}{8}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}}\)
Zatem zdarzenia A,B,C sa niezalezne
\(\displaystyle{ \Omega=\{RRR,OOO,ORO,OOR,ROO,ROR,ORR,RRO\}\\\overline{\overline{\Omega}}=8}\)
A - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na pierwszej monecie
B - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na drugiej monecie
C - zdarzenie polegajaca na wypadnieciu reszki na trzeciej monecie
\(\displaystyle{ A=\{RRR,ROO,ROR,RRO\}\\
B=\{RRR,ORO,ORR,RRO\}\\
C=\{RRR,OOR,ROR,ORR\}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}}\)
Latwo wykazac, ze zdarzenia te parami sa niezalezne.
Sprawdzmy warunek:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ A\cap B\cap C=\{RRR\}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=\frac{1}{8}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ P(A\cap B \cap C)=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}}\)
Zatem zdarzenia A,B,C sa niezalezne
Ostatnio zmieniony 10 kwie 2007, o 11:18 przez kuch2r, łącznie zmieniany 1 raz.