Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Cynamikka_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 6 cze 2013, o 10:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Post autor: Cynamikka_ » 7 cze 2013, o 23:48

Hej!
Mam do rozwiązanie następujące stochastyczne równania różniczkowe:
\(\displaystyle{ 1) dX(t)= \frac{-X(t)}{t+1} dt+ \frac{dW(t)}{t+1} , X(0) = X_{0} \in R}\)
\(\displaystyle{ 2) dX(t)= X(t) dt + dW(t)}\)
\(\displaystyle{ 3) dX(t)= -X(t) dt + e^{-t} dW(t)}\)
\(\displaystyle{ 4) dX(t)= (\sqrt{1+(X(t))^{2}} + \frac{X(t)}{2})dt + \sqrt{1+(X(t))^{2}} \cdot dW(t)}\)
\(\displaystyle{ 5) dX(t)= \frac{-X(t)}{2} dt + \sqrt{1-X^{2}(t)} \cdot dW(t)}\)

Jakby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak się rozwiązuje takie równania, najlepiej na przykładzie, to byłabym ogromnie wdzięczna. Z tego co znajduję w internecie to są numeryczne metody rozwiązywania, a i tak nie jest to dla mnie jasne.

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Post autor: Kamil_B » 8 cze 2013, o 12:03

Do pierwszych trzech przykładów możesz zastosować metodę podaną tutaj (lista 2, zad.9, str.4).
Ostatni przykład jest postaci
\(\displaystyle{ dX_t=\frac{1}{2}b(X_t)b'(X_t)dt+b(X_t)dW_t}\).
Do takich SRR możemy rozważyć proces \(\displaystyle{ Y_t=f(t,X_t)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(t,x)=\int_{x_0}^{x}\frac{ \mbox{d}s }{b(s)}}\). Teraz wystarczy skorzystać z lematu Ito, by wyznaczyć jakie SRR spełnia proces \(\displaystyle{ Y_t}\).
Czwarty przykład jest dobrze przepisany ?

Cynamikka_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 6 cze 2013, o 10:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Post autor: Cynamikka_ » 8 cze 2013, o 16:06

Wg moich notatek czwarty przykład jest dobrze zapisany.

Do przykładu drugiego znalazłam jakieś podpowiedzi, by skorzystać z procesu Ornsteina–Uhlenbecka, wziąć funkcję \(\displaystyle{ f(t,x) = x_{t} \cdot e^{ \theta t}}\), skorzystać z lematu Ito, a potem scałkować. Rozumiem, że jeśli proces Ornsteina–Uhlenbecka rozwiązuje równanie
\(\displaystyle{ dR_{t} = \theta(\mu - R_{t}) dt + \sigma dW_{t}}\),
a ja mam równanie
\(\displaystyle{ dX_{t}=X_{t} dt + dW_{t}}\),
to przyjmuję
\(\displaystyle{ \mu = 0, \theta = -1}\) i \(\displaystyle{ \sigma = 1}\).
Tylko jeśli tak jest, to co po wtedy scałkowywać i się bawić, skoro do tego procesu jest już podana postać rozwiązania i wystarczy tylko wstawić odpowiednie współczynniki? Analogicznie w tym zadaniu 9. Wystarczy powiedzieć, że jest tak, jak mówi to zadanie, dobrać odpowiednie współczynniki i wstawić do rozwiązania?

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Post autor: Kamil_B » 9 cze 2013, o 00:23

Dobrze byłoby pokazać, że rozwiązanie wyraża się faktycznie taką postacią, a nie tylko podstawić do gotowego wzoru...

Cynamikka_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 6 cze 2013, o 10:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązywanie stochastycznych równań rózniczkowych

Post autor: Cynamikka_ » 9 cze 2013, o 13:02

Acha, ok. Dzięki

ODPOWIEDZ