Mając daną gęstość, znaleźć dystrybuantę oraz pewną stałą

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 18:09

Witam, na egzaminie mogę się spodziewać takiego oto zadania, a nie wiem czy robię je dobrze:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość daną wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} frac{1}{2} & ext{dla } -2 le x le -1\ax ^{2} & ext{dla } 0<x<1\0 & ext{dla } x in left( -infty , -2
ight) cup left(-1, 0
ight] cup left[ 1, +infty
ight)end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) pewna nieznana stała. Znajdź \(\displaystyle{ a}\) oraz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\).

Rozwiązanie:
Wiedząc że dystrybuanta jest całką z gęstości, liczę:

\(\displaystyle{ F _{X} (t)= \int_{-2}^{t} \frac{1}{2} \mbox{d}x=\left[ \frac{1}{2}x \right]_{-2}^{t}= \frac{t}{2} +1}\)

Wiem że na przedziale \(\displaystyle{ \left(-1, 0 \right]}\) dystrybuanta będzie stała, ale nie wiem ile będzie wynosić, zatem postanowiłem policzyć jej wartość w punkcie granicznym \(\displaystyle{ t _{0} =-1}\)

\(\displaystyle{ F _{X} (-1)=\frac{-1}{2} +1= \frac{1}{2}}\)

Następnie:
\(\displaystyle{ F _{X} (t)= \int_{0}^{t} ax ^{2} \mbox{d}x=\left[ \frac{a}{3} x ^{3}\right]_{0}^{t}= \frac{a}{3} t ^{3}}\)

Zatem dystrybuanta będzie postaci:

\(\displaystyle{ F _{X} (t)= egin{cases} 0 & ext{dla } t in left( -infty, -2
ight)\ frac{t}{2} +1 & ext{dla } t in left[ -2, -1
ight]\ frac{1}{2} & ext{dla } t in left( -1, 0
ight]\ frac{a}{3} t ^{3} & ext{dla } t in left( 0, 1
ight)\ 1 & ext{dla } t in left[ 1, +infty
ight) end{cases}}\)

No i teraz muszę jeszcze wyznaczyć to \(\displaystyle{ a}\). Wpadłem na pomysł, że przecież funkcja \(\displaystyle{ \frac{a}{3} t ^{3}}\) musi się doklejać do jedynki w \(\displaystyle{ t_{1}=1}\). Więc liczę

\(\displaystyle{ \frac{a}{3} t ^{3}=1 \Leftrightarrow at ^{3} =3}\) i dla \(\displaystyle{ t=1}\) mam \(\displaystyle{ a=3}\)

I wówczas dystrybuanta wyglądałaby tak:

\(\displaystyle{ F _{X} (t)= egin{cases} 0 & ext{dla } t in left( -infty, -2
ight)\ frac{t}{2} +1 & ext{dla } t in left[ -2, -1
ight]\ frac{1}{2} & ext{dla } t in left( -1, 0
ight]\ t ^{3} & ext{dla } t in left( 0, 1
ight)\ 1 & ext{dla } t in left[ 1, +infty
ight) end{cases}}\)

I teraz pytanie, czy mój tok myślenia jest dobry? Proszę o ewentualne poprawki lub wskazówki jak to się wylicza

Pozdrawiam i z góry dziękuję za zaangażowanie

I pytanie dodatkowe, bo mogą mnie jeszcze poprosić o wyliczenie wartości oczekiwanej i dystrybuanty takiej zmiennej \(\displaystyle{ X}\). Jak teraz wyznaczyc \(\displaystyle{ \mathbb{E}X}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{D} ^{2}X}\)?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 7 cze 2013, o 19:25

Dużo prościej możesz wyznaczyć a.
Całka z gęstości po całej prostej musi byc równa 1.
Dystrybuanta jest źle wyznaczona.

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 19:38

ale \(\displaystyle{ a}\) jest wyznaczone dobrze?

Jak więc wyliczyć dystrybuantę?-- 7 cze 2013, o 19:48 --\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} f(x)=1 \Leftrightarrow \int_{-2}^{-1} \frac{1}{2} \mbox{d}x + \int_{0}^{1} ax ^{2} \mbox{d}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \frac{1}{2} x\right] _{-2}^{-1} + \left[ \frac{a}{3} x ^{3}\right]_{0}^{1}= 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} +1 + \frac{a}{3}=1 \Leftrightarrow \frac{a}{3}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}}\)

Teraz dobrze?

Ale dalej nie wiem jak inaczej miałbym wyznaczyć dystrybuantę...

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 7 cze 2013, o 19:58

Teraz dobrze.
Dystrybuanta to \(\displaystyle{ F(x)=P(X \le x)=\int_{-\infty}^x fdx}\) i jest funkcją nie malejącą. Zobacz co u ciebie się dzieje w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 20:26

No tak... \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{1}{2}t ^{3} =0< \frac{1}{2}}\)...

Tylko jak to poprawić? I czy tylko tu jest błąd czy w innych fragmentach klamry też się pojawiają jakieś byki?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 7 cze 2013, o 20:42

jest ok

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 21:22

było źle, nic nie poprawiłem i jest ok? :O nie czaję... Dystrybuanta jest dobrze czy źle?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 7 cze 2013, o 22:30

A sorry nie doczytałem, no w punkcie \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)masz
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x f(x)dx=\int_{-2}^{-1}1/2dx+\int_{0}^x 1/2 x^2dx}\). Więc ile to wychodzi?

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 22:40

nie rozumiem, po co brać dwa przedziały jak tutaj bierzemy tylko dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) bo dla \(\displaystyle{ -2 \le x \le -1}\) już mamy...

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 7 cze 2013, o 23:03

Zobacz jaka jest definicja dystrybuanty. Jest to praw. \(\displaystyle{ (-\infty,x]}\)

kieubass · Post autor: **kieubass** » 7 cze 2013, o 23:46

no to wiem, ale czemu bierzemy już załatwiony przedział?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 8 cze 2013, o 14:25

kieubass pisze:no to wiem, ale czemu bierzemy już załatwiony przedział?

Z definicji.

kieubass · Post autor: **kieubass** » 8 cze 2013, o 20:49

Bardzo przepraszam, ale nie rozumiem... Mógłbyś pokazać krok po kroku jak mam to wyznaczyć? Byłbym ogromnie wdzięczny...

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 9 cze 2013, o 09:27

Na przedziale (-1,0) masz 1/2, z jakiego powodu ? Gęstość tam jest zero.

kieubass · Post autor: **kieubass** » 16 cze 2013, o 02:37

eee... bo dla \(\displaystyle{ -1}\) mam \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)? Dystrybuanta nie może zmaleć, a zerowa gęstość na tym przedziale mówi nam że dystrybuanta rośnie zerowo na tym przedziale czyli nie rośnie wcale. Skoro z definicji nie może maleć i nie rośnie, to znaczy że jest stała, czyli w naszym przypadku stale równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Chyba dobrze rozumuję