zmienna losowa

[ewelkaaa]

Dana jest gęstość zmiennej losowej

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0&dla&|x|\geq 1\\\frac{c}{\sqrt{1-x^2}}&dla& |x|}\)

[kuch2r]

Wiadomo, ze:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) dy=1}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\frac{c}{\sqrt{1-x^2}}dx=1}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\frac{c}{\sqrt{1-x^2}}dx=2c arcsin{1}=2c\cdot \frac{\pi}{2}=c\pi}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ c\pi =1\\c=\frac{1}{\pi}}\)

[ewelkaaa]

a tu liczymy całkę od -1 do 1 czy od -∞ do 1 bo ta funkcja gdzie jest c jest dla |x|

[kuch2r]

\(\displaystyle{ |x|}\)

[ewelkaaa]

dzieki za pomoc a moglbys slownie jakos to wytlumaczyc bo za bardzo nie wiem a gdyby nie bylo modulu to bylo by tak ajk anpisalam wyzej ???

[kuch2r]

jezeli mamy dana gestosc zmiennej losowej \(\displaystyle{ \chi}\) zadana w postaci \(\displaystyle{ f(x)}\) , taka, ze \(\displaystyle{ f(x)}\), to pole pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) musi byc rowne 1.

Jezeli zaistnialaby sytuacja taka, ze:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 \ dla \ x\leq 1 \\ g(x) \ dla \ x>1\end{cases}}\)
To \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\infty} g(x) dx=1}\)

Gdyby w naszym przykladzie byl warunek, ze dla \(\displaystyle{ x}\)

[ewelkaaa]

jeszcze jak bys mogl mi powiedziec jak obliczyc w tym przypadku medianę i dominantę ??? z gory wielkie dzieki

[kuch2r]

Mediane \(\displaystyle{ \mathfrak{Me}}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ \chi}\) nazywamy liczbe spelniaja zwiazek (dla zmiennej losowej ciaglej o dystrybuancie \(\displaystyle{ F(x)}\)):
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{2}\iff t\limits_{-\infty}^{x=\mathfrak{Me}} f(y) dy=\frac{1}{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(y)}\) - gestosc zmiennej losowej
Rozpatrzmy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{x=\mathfrak{Me}} \frac{dy}{\pi\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{x=\mathfrak{Me}}\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{\pi}(arcsinx+\frac{\pi}{2})}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}(arcsinx+\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}\\arcsinx=0\\x=0}\)
\(\displaystyle{ \mathfrak{Me}=0}\)

Dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ \chi}\) nazywamy w przypadku zmiennej losowej ciaglej - warosc, dla ktorej gestosc przyjmuje maksimum lokalne.
W naszym przypadku dystrybuanta zmiennej losowej nie istnieje, poniewaz wartosc maksymalna funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale (-1,1) bedzie "wynosic" \(\displaystyle{ +\infty}\)