Wartość oczekiwana

[Mala-Mi]

Mam problem z zadaniem, a właściwie od pewnego momentu. Muszę wyznaczyć wartość oczekiwaną, przy czym mamy podaną zmienną losową o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{27} e^{- \frac{x}{27} } &\text{ dla } x > 0 \\0 &\text{ dla pozostałych }x\end{cases}}\)

Mam już coś takiego:

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{ \infty } x \frac{1}{27} e^{ -\frac{x}{27} } \mbox{d}x = ... = - \infty \cdot 0 + 27}\)

I teraz mam pytanie: co powinnam zrobić z tym symbolem nieoznaczonym? Ponadto czy powinnam całkę liczyć od 0, jeśli przedział jest otwarty?

Z górki dzięki za pomoc!

[janusz47]

Powinnaś policzyć całkę przez części.

[Mala-Mi]

Powinnaś policzyć całkę przez części.

Liczyłam, nie wstawiłam obliczeń gdyż to czasochłonne. Po działaniach wyszło mi: \(\displaystyle{ - \infty \cdot 0 + 27}\)
i w tym momencie nie wiem, co zrobić z tym symbolem nieoznaczonym. Możliwe też, że coś źle obliczyłam, więc byłabym wdzięczna, gdyby ktoś sprawdził wynik

[janusz47]

Pokaż jak liczyłaś to skorygujemy.

[Mala-Mi]

\(\displaystyle{ \frac{1}{27} \int xe^{- \frac{x}{27} } \mbox{d}x = \frac{1}{27}\left( -27xe^{- \frac{x}{27} } + 27 \int e^{- \frac{x}{27} } \mbox{d}x \right) = -xe^{- \frac{x}{27} }-27e^{- \frac{x}{27} }



E(X) = \int_{0}^{ \infty } x \frac{1}{27} e^{ -\frac{x}{27} } \mbox{d}x =
\left[ -xe^{- \frac{x}{27} }-27e^{- \frac{x}{27} }\right]_{0}^{ \infty }=- \infty \cdot 0 - (0-27)}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{1}{27}\int_{0}^{\infty}xe^{-\frac{x}{27}}dx =\frac{1}{27}\int_{0}^{\infty}x\left(-27e^{-\frac{x}{27}}\right)'dx = -x\cdot e^{-\frac{x}{27}}|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}1e^{-\frac{x}{27}}dx=-xe^{-\frac{x}{27}}|_{0}^{\infty}-27e^{-\frac{x}{27}}|_{0}^{\infty}=0+0+0 -(-27\cdot 1)=27}\)

Granica
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}xe^{-\frac{x}{27}} = \lim_{x\to \infty}\frac{x}{e^{\frac{x}{27}}}=0}\)( reguła de'Hospitala).