Wartość oczekiwana

[Kmitah]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\), \(\displaystyle{ Y=e^{\lambda X}}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ E(Y)=e^{\frac{\lambda^2}{2}}}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ \mathbb{E} Y = \int_{\mathbb_{R} }} e^{\lambda x} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{ \frac{-x^{2}}{2} } \mbox{d}x = \int_{\mathbb_{R} }} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{ \frac{-(x^{2}-2\lambda x)}{2} } \mbox{d}x = \int_{\mathbb_{R} }} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{ \frac{-(x^{2}-2\lambda x + \lambda^{2})}{2} }e^{ \frac{\lambda ^{2}}{2} } \mbox{d}x = \\ \\ = e^{ \frac{\lambda ^{2}}{2} } \int_{\mathbb_{R} }} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{ \frac{-(x- \lambda)^{2}}{2} } \mbox{d}x =e^{ \frac{\lambda ^{2}}{2} } \cdot 1 =e^{ \frac{\lambda ^{2}}{2} }}\)

[Kmitah]

Dziękuję bardzo.