Mam zbadać niezależność zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jeżeli zmienna \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny na takim zbiorze: \(\displaystyle{ K= \left\{ (x,y): \quad |x|+|y| <1 \right\}}\). Sprawdzić wiem jak, ale chcę się upewnić, czy tak wygląda gęstość
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2} 1_{\left[ -1,1\right] }(x) 1_{\left[ -|x|+1 , |x|-1\right] } (y)}\)?
Bo wtedy wyszło mi, że
\(\displaystyle{ f_{X}(x)= \left( |x|-1 \right) 1_{\left[ -1,1\right] }(x)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)= \left( |x|-1 \right) 1_{\left[ -|x|+1 , |x|-1\right]}(y)}\) czyli nie są niezależne
i jeszcze mam pytanie, czy mogę tak zrobić
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)= \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{2} 1_{\left[ -1,1\right] }(x) 1_{\left[ -|x|+1 , |x|-1\right] } (y) dx}\) \(\displaystyle{ = \frac{1}{2} 1_{\left[ -|x|+1 , |x|-1\right] } (y) \int_{\mathbb{R}} 1_{\left[ -1,1\right] }(x) dx}\)?