Splot gęstości

[studenttt91]

Proszę o sprawdzenie zadania:
Niech \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na przedziałach odpowiednio \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i \(\displaystyle{ (-2,2)}\) Wyznaczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\)
Robię tak
\(\displaystyle{ f_{Z}(u)= \int_{\matbb{R}} \frac{1}{8} 1_{(-1,1)} (x) 1_{(-2,2)} (u-x) dx \int_{-1}^{1} \frac{1}{8} 1_{(u-2,u+2)} (x) dx}\)
I rozpatruję przypadki:
1) \(\displaystyle{ u+2<-1}\) czyli \(\displaystyle{ u<-3}\)
2) \(\displaystyle{ \begin{cases} u-2<-1 \\ u+2>-1 \\ u+2<1 \end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ u \in(-3,-1)}\)
3) \(\displaystyle{ \begin{cases} u-2<1 \\ u+2>1 \end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ u \in (-1,3)}\)
4) \(\displaystyle{ u-2>1}\) czyli \(\displaystyle{ u>3}\)
Jest to dobrze?
Bo zastanawiam się czy w warunku 3) nie powinno być jeszcze \(\displaystyle{ u-2>-1}\) czyli \(\displaystyle{ u>1}\), ale wtedy to się psuje. Proszę o pomoc.

[Adifek]

Chyba coś zbyt makabrycznie Ci to wyszło.

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(x) = \int_{\mathbb{R}} f_{X}(x-y)f_{Y}(y)dy = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(-1,1)}(x-y) \frac{1}{4} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(-2,2)}(y) dy = \frac{1}{8} \int_{A(x)}^{B(x)}1 dy= \frac{1}{8}(B(x) -A(x))}\)

gdzie \(\displaystyle{ A(x) = max\left\{ -2, x-1\right\},}\) oraz \(\displaystyle{ B(x) = min\left\{ 2, x+1\right\}}\).

Stąd mamy

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{8}, \quad x\in [-3,-1] \\ \frac{1}{4}, \quad x\in [-1,1] \\ \frac{-x+3}{8}, \quad x\in [1,3] \\ 0, \quad poza \ tym \end{cases}}\)

[anianiedoruch]

skąd się bierze ta ostateczna odpowiedź? Chodzi mi o wąsy.

[Slammer]

w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 1,3\right]}\) nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{4-x}{8}}\) ? Innaczej całka w R z tej funkcji gęstości nie daje 1.

[Adifek]

Daje, policz jeszcze raz

Poza tym splot rozkładów symetrycznych też musi być symetryczny.