Kowariancja zmiennej losowej (X,Y) rozkladu jednostajnego

[patlas]

Witam,
mam problem z takim zadankiem:
"Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład jednostajny w obszarze \(\displaystyle{ D = \left\{ (x,y) : \ 0 \le x \le 2 \ i \ 0 \le y \le 2-x\right\}}\). Wyznaczyć współczynnik korelacji".

Funkcja rozkładu wyszła mi następująca (mam nadzieje że dobra):
\(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, \ 0 \le x \le 2 \ i \ 0 \le y \le 2-x \\ 0, \ pozostale \end{cases}}\) Obliczylem ją z definicji jako odwrotność miary |A| która wg mnie jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych równych 2 (wywnioskowałem to z warunku obszaru D).
Teraz w oparciu o tą funkcję gęstosci wyznaczam warunki brzegowe (gestości poszczególnych zmiennych)
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int _{-\infty} ^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = \int _{0} ^{2-x} 0.5 dy = \frac{2-x}{2}, \ dla \ \ 0 \le x \le 2}\) poza tym 0
oraz \(\displaystyle{ f_Y(y) = \int _{-\infty} ^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = \int _{0} ^{2} 0.5 dx = 1, \ dla \ 0 \le y \le 2-x}\) poza tym 0.

Jednak wyszły mi (chyba) zmienne zależne. Tak więc jak w przypadku zaleznych zmiennych wyznaczyć \(\displaystyle{ E(XY)}\) potrzebne przy wyznaczaniu kowariancji a co za tym idzie współczynnika korelacji?

[Adifek]

\(\displaystyle{ \matbb{E}(XY)=\iint_{ \mathbb{R} \times \mathbb{R}}xyf_{X,Y}(x,y)dxdy}\)

[patlas]

Wielkie dzięki
Nigdzie nie mogłem znaleźć potwierdzenia czy tak to się robi
A czy to co zrobiłem wyżej jest również poprawne?

[Adifek]

No właśnie tak się to robi. Ogólnie, jeśli \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}}\) jest funkcją borelowską, a \(\displaystyle{ \mu}\) rozkładem na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) pewnego wektora \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ f(V) \in L^{1}(\mu )}\), to

\(\displaystyle{ \mathbb{E} [f(V)] = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x_{1},...,x_{n})d\mu (x_{1},..,x_{n})}\)

Ty pierwszą całkę policzyłeś dobrze, a drugą źle - złe granice całkowania. Narysuj sobie ten obszar (trójkąt) i sam pewnie zobaczysz co jest źle

[patlas]

Znalazłem ten błąd teraz wyszło mi analogicznie jak dla x:
\(\displaystyle{ f_Y(y) = \int _{-\infty} ^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = \int _{0} ^{2-y} 0.5 dx = \frac{2-y}{2}, \ dla \ \ 0 \le y \le 2}\)

Tylko gdy wyszło mi coś takiego to obliczając nastęonie:
\(\displaystyle{ E(XY) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{2} xy dx dy = 2
\\
E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{2-x}{2} dx = \frac{2}{3}
\\
E(Y) = \frac{2}{3} \ analogicznie \ do \ E(X)
\\
cov(X,Y) = E(XY) - E(X) \ cdot E(Y) = 2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{9}}\)
Teraz próbując obliczyć współczynnik korelacji wyznaczam jeszcze wariancję zmiennych X i Y jednak współczynnik ten wychodzi większy od 1 czyli coś musi być źle (powinien zawierac sie w \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
\(\displaystyle{ E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{2-x}{2} dx = \frac{2}{3} \ = \ analogicznie \ E(Y^2)
\\
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9} \ = \ analogicznie \ V(Y)
\\
\rho = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)} \cdot V(Y)} = 7 \notin [-1,1]}\)
Co robię nie tak?

[Adifek]

Zły obszar przy liczeniu \(\displaystyle{ \mathbb{E} (XY)}\). Trójkąt zamieniłeś sobie na kwadrat

[patlas]

A możesz mi powiedzieć jaki w końcu ma być ten obszar, bo już nei mam pomysłu

[Adifek]

Twoim obszarem jest cały czas \(\displaystyle{ D}\), nie wiem więc skąd nagle się przerzuciłeś na całkowanie po kwadracie \(\displaystyle{ [0,2] \times [0,2]}\).

[patlas]

Czyli mam całkować tak:
\(\displaystyle{ E(XY) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} \frac{1}{2} xy dx dy}\) ?

[Adifek]

Dokładnie.

[patlas]

To wtedy będe miał wynik cały czas uzalezniony od x, a wartość oczekiwana może od niego zalezeć?

W takim razie funkcje gęstości sa poprawne:
\(\displaystyle{ f_Y(y) = \int _{-\infty} ^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = \int _{0} ^{2-y} 0.5 dx = \frac{2-y}{2}, \ dla \ \ 0 \le y \le 2}\) poza tym 0
oraz
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int _{-\infty} ^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = \int _{0} ^{2-x} 0.5 dy = \frac{2-x}{2}, \ dla \ \ 0 \le x \le 2}\) poza tym 0
?

[Adifek]

Ja widzę, że Ty masz makabryczne trudności z całkami podwójnymi i zamianą obszarów

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(XY) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} \frac{1}{2} xy dx dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{2}x\left( \int_{0}^{2-x}ydy\right)dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{2}x \frac{(2-x)^{2}}{2} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} \left( x^{3} -4x^{2} +4x \right) dx =...}\)

[patlas]

Wielkie dzięki
No właśnie nie miałem całek podwójnych na uczelni