Rozkład jednostajny na okręgu

[Ktos_88]

Jak rozwiązać takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ S}\) oznacza okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r>0}\) i niech \(\displaystyle{ \psi : (0, 2 \pi) \rightarrow S}\) będzie dane wzorem:
\(\displaystyle{ \psi (t) = (r \cos t , r \sin t)}\), \(\displaystyle{ t \in (0, 2 \pi)}\)
Miara na okręgu \(\displaystyle{ l_1 (\psi): \mathbb{B} (S) \rightarrow (0, 2 \pi r)}\) określona jest następująco
\(\displaystyle{ l_1 (\psi) (A) = r l_1 (\psi ^{-1} (A))}\) dla \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B} (S)}\)
Pokazać że jeśli \(\displaystyle{ \phi}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0, 2 \pi)}\), to wektor losowy \(\displaystyle{ (r \cos \phi , r \sin \phi)}\) ma rozkład jednostajny na okręgu \(\displaystyle{ S}\). Wszelka pomoc mile widziana.

[Adifek]

Niech \(\displaystyle{ x, \ \alpha}\) będą takie, że \(\displaystyle{ (x, x+\alpha) \subseteq (0, 2\pi )}\). Weźmy wycinek koła

\(\displaystyle{ A(x, \alpha ) = \left\{ (r \cos (x+t ) , r\sin (x+t) ) : t \in (0, \alpha)\right\}}\).

Jeśli chcemy pokazać, że rozkład na kole jest jednostajny, to miara takiego wycinka musi zależeć jedynie od \(\displaystyle{ \alpha}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ P\left( (r \cos \phi , r \sin \phi) \in A(x, \alpha) \right) = P( \phi \in (x, x+\alpha ) )= \frac{\alpha}{2\pi}}\)

[Ktos_88]

A w jaki sposób znaleźć gęstość rozkładu tego dwuwymiarowego wektora?

[Adifek]

To nie ma gęstości względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie. Taki okrąg jest przecież miary 0. To tak naprawdę tylko formalnie jest wektor losowy (bo przekształca przestrzeń 1-wymarową w 1-wymiarowy okrąg) - lepiej to rozumieć jako funkcję borelowską nałożoną na \(\displaystyle{ \phi}\).