Rozkład Poissona

[studenttt91]

Mam problem z rozwiązaniem zadania:
Liczba jajeczek składanych przez pewnego owada jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda >0}\), zaś każdy osobnik wylęga się z jajeczka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) niezależnie od innych (pozostałe osobniki giną). Znaleźć rozkład zmiennej losowej określającej liczę potomków owada. Proszę o pomoc.

[robertm19]

\(\displaystyle{ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}}\) - liczba jajeczek wynosi k.
\(\displaystyle{ P(Y=m|X=k)= {k \choose m}p^m(1-p)^{(k-m)}}\) - liczba wyklutych jajeczek, m=0,1,2,...,k
\(\displaystyle{ P(Z=n)=\sum_{k=n}^{\infty}P(Y=n|X=k)P(X=k)}\)