Gęstość zmiennych losowych

[Nesquik]

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ S= X + Y.}\)
Wyznacz gętość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\)oraz \(\displaystyle{ V= \frac{X}{X+Y}}\)jeżeli:

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\),czy są one niezależne.


Proszę o pomoc wiem trzeba tu skorzystac ze splotu ale dopiero miałam to na wykładzie i nie bardzo umiem sobie z tym poradzić.

\(\displaystyle{ f_{X}(t)= e^{-x}}\) i \(\displaystyle{ f_{Y}(t)= e^{-y}}\)
\(\displaystyle{ f_{S}(t)=( f_{X} * f_{Y} )(t)= \int_{ -\infty }^{ \infty } e^{-u}e^{-u+t} du}\) ?
Czy tak to powinno wyglądać?

[zidan3]

Masz jeszcze odpowiedzieć czy \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ V}\) są niezależne, zatem chyba najrozsądniej jest znaleźć gęstość rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (S,V)}\). Wystarczy określić dyfeomorfizm \(\displaystyle{ \phi(x,y)=\left( x+y,\frac{x}{x+y}\right)}\) i skorzystać z twierdzenia:
\(\displaystyle{ f_{(S,V)}(x,y)=f_{(X,Y)}\left( \phi^{-1}(x,y)\right) \cdot \left| J\phi^{-1}\right|}\), gęstość jest określona na obrazie dyfeomorfizmu.
Po wyliczeniu tej gęstości, jeśli dopatrzysz się tam iloczynu gęstości, to będziesz za jednym zamachem miał niezależność i wzory na gęstość \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ V}\)

[robertm19]

\(\displaystyle{ P(X+Y \le z_{1},\frac{X}{X+Y}\le z_{2})=P(Y\le z_{1}-X, X(\frac{1}{z_{2}}-1)\le Y)}\)
X, Y niezależne więc łatwo to policzyć, oczywiście trzeba rozważyć dwa przypadki \(\displaystyle{ \frac{1}{z_{2}}-1>0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{z_{2}}-1<0}\), gdzie a >0.
X+Y oczywiście ze splotu wyznaczysz rozkład, a rozkład ilorazu podobnie to powyższego.