trzy zadania (dustrybuanta i zmienna losowa )

[turek_215]

Proszę o sprawdzenie i o pomoc w rozwiązaniu jednego zadania, bo kompletnie nie wiem jak je policzyć:

1. Zmienna X ma rozkład normalny i oznacza ilość jabłek zjedzonych rocznie. Średnia wynosi 140, a wariacja 36. Ile procent ludzi zjada więcej niż 136, a mniej niż 152 jabłka rocznie? Ile wariacja i średnia zmiennej Y, równej -2X+100.

N ~ (140,36)

136<X<152
\(\displaystyle{ 0,11<\frac{X-140}{36}<0,33, a wiec: \\
P( -0,11<\frac{X-140}{36}<0,33) = \\
= \o (0,33)- \o (-0,11) = \\
= \o (0,33) -1 + \o (0,11) =\\
= 0,6293 -1 +0,5478 = 0,18}\)

odp. 18 procent ludzi

EX = 140
VarX=36

\(\displaystyle{ EY = aEX+b = -2*140+100=-40 \\
VarY = a^2 VarX =4*36 =144}\)

2 Kowalski pisał sprawdzian, z którego mógł dostać do 80pkt. Średnio uczniowie otrzymywali 30pkt, a wariacja wynosiła 64. Ile procent studentów napisało lepiej niż 24, a gorzej niż 46 pkt, przy założeniu, że rozkład wynikow jest normalny. Ile punktów dostał Kowalski, jeżeli 78% uczniów napisało lepiej od niego?

N~(30,64)

\(\displaystyle{ 24<X<46 \\
-0,09<\frac{X-30}{64}<0,25 \\
P(-0,09<\frac{X-30}{64}<0,25) = \\
= \o (0,25)- \o (-0,09) = \\
\o (0,25) -1 + \o (0,09) = \\
0,5987 - 1 + 0,5359 = 0,1346}\)

Odp. 13% miało lepszy wynik

J - wynik Kowalskiego
\(\displaystyle{ P(X>J) = 0,78 \\
P(X<J) = 0,22 \\
J = x(0,22) = 30 + 64*z(0,22) = 30-64*z(0,78) = 30 -64*0,77 < 0}\)

Jeżeli kwantyl wyszedł mi ujemny, to mam przyjąć że wynik jest równy 0?

3. \(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} \frac{A}{x^4} \ dla |x| \ge 1 \\ 0 \ dla |x| <1 \end{cases}}\)

Należy dobrać A, tak by funkcja f(x) była gęstością pewnej zmiennej losowej. Znaleźć i narysować tę dystrybuantę oraz obliczyć P(X>1).

Nie wiem w ogóle jak się za to zabrać, proszę o pomoc

[janusz47]

Zad.4
Z własności gęstości zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-1}\frac{A}{x^{4}}dx+\int_{-1}^{1}0dx +\int_{1}^{\infty}\frac{A}{x^{4}}dx=1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}A+\frac{1}{3}A=1,}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{3}{2}}\)

[turek_215]

a wiec otrzymuję funkcję gęstości f(x), która jest pochodną dystrybuanty tak? więc F(X) =\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-2}{9x^3} \ dla |x| \ge 1 \\ x \ dla |x| <1 \end{cases}}\) ?