Przykłady doświadczeń losowych i przykłady zadań

[asiamarz]

Prosiłabym o pomoc w tych zadaniach:

ZADANIE 1 Dany jest alfabet złożony z \(\displaystyle{ n}\) liter (tzn. pewnych symboli). Ile różnych słów o długości k można napisać korzystając z takiego alfabetu? Rozważ przykłady
a) \(\displaystyle{ k=n}\) Moja odpowiedź: \(\displaystyle{ n^{k}}\)
b) \(\displaystyle{ k=1}\) Moja odpowiedź: \(\displaystyle{ n}\)
c) \(\displaystyle{ n=5, k=3}\) Moja odpowiedź: \(\displaystyle{ 125}\) (wyliczona z wariacji z powtórzeniami)

ZADANIE 2 Kiedyś bilety autobusowe były kasowane w kasownikach wykonujących dziurki w bilecie. Maksymalny układ dziurek tworzył kwadrat \(\displaystyle{ 3\times 3}\) (tzn. \(\displaystyle{ 9}\) dziurek). Ile różnie skasowanych biletów musiał mieć przy sobie ówczesny student aby posiadać komplet wszystkich możliwości i w ten sposób bezpiecznie jechać za darmo?
Moja odpowiedź: \(\displaystyle{ 1332}\)

ZADANIE 3 Ile jest wszystkich podzbiorów danego zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
Tutaj wiem że \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) tylko nie wiem jak to rozpisać. Widziałam taki temat już na forum ale niestety link do odpowiedzi napisanej przez jakiegoś użytkownika był już nieaktywny.

ZADANIE 4 Gra dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostką. Najpierw rzuca gracz 1 potem drugi itd. na przemian (kostka symetryczna, sześcienna) Grę wygrywa gracz. który uzyska "6" to zdarzenie kończy grę. Oblicz prawdopodobieństwo :
a) zdarzenia losowego \(\displaystyle{ A}\), że wygrana przypadnie graczowi pierwszemu
b) zdarzenia losowego \(\displaystyle{ B}\) że wygrana przypadnie drugiemu graczowi

ZADANIE 5 Podaj przykłady doświadczeń losowych w których nie można stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Określ w tych przykładach pewne zdarzenia losowe i określ ich prawdopodobieństwa.
Czy to chodzi o np. zadanie gdzie wykorzystuje się prawdopodobieństwo warunkowe?

[piasek101]

1) Nie napisali czy litery mogą się powtarzać.

[asiamarz]

Skoro alfabet to rozumiem że można korzystać z liter po kilka razy

[norwimaj]

1. Ok.

2. Źle, skorzystaj z zadania 3.

3. Każdy element jest w zbiorze albo nie (dwie możliwości), więc z twierdzenia o mnożeniu...

4. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\frac16+\frac56\cdot\frac56\cdot\mathbb{P}(A)}\)

albo prościej

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\frac16+\frac56\cdot(1-\mathbb{P}(A))}\).

5.Rzut niesymetryczną monetą, gdzie prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe \(\displaystyle{ \pi^{-1}}\).

[asiamarz]

W 4. otrzymałam \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{6}}\) natomiast \(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{5}}\) bo zrobiłam prawdopodobieństwo warunkowe że wyrzuci "6" pod warunkiem że gracz pierwszy nie wyrzuci "6"

Co do zadania 2ego to można zrobić to tak że zbiorów jednoelementowych jest\(\displaystyle{ n}\) dwuelementowych wariancja 2 z n itd.? Tylko nie wiem do czego dojdę w ten sposób. Jako jakaś suma ciągu geometrycznego to zapisać?

Co do 3ego to ciągle nad nim myślę....

[norwimaj]

W 4. otrzymałam \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{6}}\) natomiast \(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{5}}\)

Czyli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-\frac16-\frac15=\frac{19}{30}}\) będzie remis lub gra się nie zakończy?

[asiamarz]

To ja już nie wiem jak to rozpisac

[norwimaj]

O ile dobrze pamiętam, 27 maja o 20:09 rozpisałem zadanie czwarte dwoma sposobami tak, że już wystarczy tylko rozwiązać równanie. To chyba nie jest zbyt trudne?

[asiamarz]

Rozpisałeś tylko że ja nie wiem skąd to się wzięło...

[norwimaj]

Jak nie wiesz skąd się wzięło, to pytaj. Oba równania wzięły się z rozbicia na przypadki. Albo \(\displaystyle{ A}\) wygra w pierwszym ruchu (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac16}\)), albo nie wygra w pierwszym ruchu (\(\displaystyle{ \frac56}\)). W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ A}\) wygrywa na pewno. W drugim przypadku \(\displaystyle{ A}\) wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac56\cdot\mathbb{P}(A)}\), bo żeby \(\displaystyle{ A}\) wygrał, musi \(\displaystyle{ B}\) w drugim ruchu spudłować a potem gra zaczyna się od nowa.