P Geometryczne. Jedna z nich jest liczba wymierna.

[juniorex2]

Witam.
mam problem z zadaniem oto jego tresc:
Z odcinka \(\displaystyle{ [-1,3]}\) losujemy 2 liczby. Oblicz prawdopodobienstwo, że:
- jedna z nich jest liczba wymierną
- obie sa liczbani niewymiernymi
Z góry dziekuje za pomoc.

[radwaw]

Jeśli losujemy dwie dowolne liczby rzeczywiste to prawdopodobieństwo jest jak \(\displaystyle{ \frac{\aleph_0}{ \mathfrak{C}}}\) a to nie jest sensowna liczba i wydaje mi się że to 0

[juniorex2]

Tak własnie jak myslalem ze musimy skozystac z przeliczalnosci zbiorow tylko nie wiem jak to przełozyc na zapis dla takiego odcinka.

[Jan Kraszewski]

Jeśli losujemy dwie dowolne liczby rzeczywiste to prawdopodobieństwo jest jak \(\displaystyle{ \frac{\aleph_0}{ \mathfrak{C}}}\) a to nie jest sensowna liczba

To zupełnie inna bajka.

JK

[juniorex2]

ale nadal nie wiem jak to rozwiazac i zapisac :/
logiczne jest to ze to bedzie liczba bliska 0

[zidan3]

Troszke bardziej formalnie:
Tutaj nasza przestrzenią probabilistyczną jest \(\displaystyle{ \left( \left[ -1,3\right], \mathcal{B}\left( \left[ -1,3\right]\right), \lambda(.) \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda(.)}\) jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a. Zatem mamy
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\lambda \left( \mathbb{Q} \cap \left[ -1,3\right] \right) }{\lambda (\left[ -1,3\right] )}=\frac{0}{4}=0}\)

De facto policzone jest prawdopodobieństwo wylosowania jednej liczby wymiernej z odcinka \(\displaystyle{ \left[ -1,3\right]}\) ale dla dwóch (lub więcej) liczb nie ma różnicy; chciałem zaakcentować tylko opis przestrzeni.

[Jan Kraszewski]

Dla dwóch liczb będzie to raczej \(\displaystyle{ [-1,3]^2}\).

JK

[zidan3]

Dla dwóch liczb będzie to raczej \(\displaystyle{ [-1,3]^2}\).

JK

Oczywiście, miara Lebesgue'a też będzie dwuwymiarowa.