Rozkład Bernoulliego

[studenttt91]

Mam problem z takim zadaniem:
Niezależnie zmienne losowe \(\displaystyle{ \xi_1 , \xi_2, \ldots}\) mają rozkład Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ p \in \left( 0,1 \right)}\)
Sprawdź, czy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) zachodzi zdarzenie \(\displaystyle{ \left\{ \xi_n > \frac{n-1}{n} \right\}}\)?
Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P \left( \xi_n > \frac{n-1}{n} \right) =\lim_{n \to \infty} 1-P \left( \xi_n \le \frac{n-1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} 1-F \left( \frac{n-1}{n} \right) =1-1=0}\), czyli nie. Proszę o pomoc

[robertm19]

Ten rozkład bernuliego to ma n liczbę doświadczeń gdy zmienna ma indeks n?

[studenttt91]

Nie,
\(\displaystyle{ \forall_{n} P(\xi_n =k )= {N \choose k } p^k (1-p)^{N-k}}\)

[robertm19]

\(\displaystyle{ P( \xi_n > \frac{n-1}{n} )=1-P(\xi_{n}=0)=1-N(1-p)^N}\)

\(\displaystyle{ \sum P({ \xi_n > \frac{n-1}{n} })=\sum (1-N(1-p)^N)=\infty}\)
Stąd z Lemat Borela-Cantelliego \(\displaystyle{ P(\limsup\{ \xi_n > \frac{n-1}{n} \})=1}\)
\(\displaystyle{ \omega \in \limsup A_{n} \Leftrightarrow \omega \in}\) nieskończenie wielu wyrazów ciągu \(\displaystyle{ A_{n}}\)

[studenttt91]

Dziękuje

[robertm19]

Poczytaj o wspomnianym lemacie. W założeniach jest, że szereg jest rozbieżny. Oczywiście szeregi są po "n" nie po "N". Dlatego dodajemy cały czas stałą, co prowadzi do rozbieżności.