rozkład dyskretny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
21mat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 23 mar 2011, o 09:58
Płeć: Mężczyzna

rozkład dyskretny

Post autor: 21mat »

Pokaż, że jeśli rozkłady \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) są dyskretne to ich splot też jest rozkładem dyskretnym.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

rozkład dyskretny

Post autor: Adifek »

W czym problem..?

Załóżmy, że zmienne niezależne \(\displaystyle{ X, \ Y}\) mają takie rozkłady, tj. \(\displaystyle{ X~\sim \alpha , \ Y\sim \beta}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ X+Y\sim \alpha * \beta}\).

Wystarczy teraz rozważyć \(\displaystyle{ P(X+Y=t)}\) dla różnych \(\displaystyle{ t}\) (będących sumą atomów rozkładów bądź nie)
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

rozkład dyskretny

Post autor: Spektralny »

W języku algebr Banacha, pokazujesz tak na prawdę, że \(\displaystyle{ (\ell_1(\mathbb{R}), *)}\) jest zamknięte na mnożenie spolotowe (jest to nawet algebra Banacha).
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

rozkład dyskretny

Post autor: Adifek »

Może lekko poprawię swoją odpowiedź. To co napisałem wyżej pokaże nam, że sę atomy, ale nie koniecznie, że rozkład jest czysto dyskretny (mógłby być np. sumą rozkładu ciągłego i dyskretnego). Aby pokazać, że poza atomami już nie ma żadnego prawdopodobieństwa, trzeba albo pokazać, że suma takich prawdopodobieństw wynosi 1, tj. jeśli \(\displaystyle{ \left\{ a_{1}, a_{2},...\right\}}\) to atomy rozkładu \(\displaystyle{ \alpha}\), a \(\displaystyle{ \left\{ b_{1}, b_{2},...\right\}}\) to atomy rozkładu \(\displaystyle{ \beta}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{k}\sum_{n}P(X+Y=a_{k}+b_{n}) =1,}\)

albo pokazywać, że \(\displaystyle{ P(X+Y \le t)}\) jest funkcją schodkową.
ODPOWIEDZ