Wartość oczekiwana całkowanie przez podstawienie

[studenttt91]

Mam do udowodnienia wzór:
\(\displaystyle{ X}\) zmienna losowa
Jeśli \(\displaystyle{ X \ge 0}\) to \(\displaystyle{ E \phi(X)= \int_{0}^{\infty} P(X>t) \phi ' (t) dt}\)
\(\displaystyle{ E \phi(X)= \int_{0}^{\infty} P(\phi (X)>t) dt = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{\Omega} 1_{ \left\{ \phi (X)>t\right\} } (X(w) P(dw) \right) dt}\)
i teraz nie wiem jak podstawić. Proszę o pomoc

[Kamil_B]

Dobrze byłoby coś założyć o funkcji \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) np., że jest różniczkowalna, rosnąca i \(\displaystyle{ \varphi(0)=0}\).
Zauważ, że wówczas \(\displaystyle{ P(\varphi (X)>t)=P(X>\varphi^{-1}(t))}\). Pozostaje podstawić \(\displaystyle{ u=\varphi^{-1}(t)}\).

[zidan3]

łatwiej iść z prawej strony do lewej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}P(X>t)\varphi'(t) \mbox{d}t=\int_{0}^{\infty}\mathbb{E}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{{\left\{ X>t\right\} }}\varphi'(t)\mbox{d}t=\mathbb{E} \int_{0}^{\infty} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\{ X>t\right\} } \varphi'(t)\mbox{d}t=\mathbb{E}\int_{0}^{X} \varphi'(t)\mbox{d}t=\mathbb{E} \varphi(X)}\)

e/ Jak ktoś chce to można to jeszcze bardziej rozpisać. Oczywiście skorzystałem z twierdzenia Fubini'ego po drodze.