Zmienne losowe

[midek]

\(\displaystyle{ f(x,y) = a \exp\{-\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4}\} \quad (x,y) \in R^2}\)
Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ a}\) jest to rozkład pr-stwa, a następnie zbadaj za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{p} e^{-\frac{t^2}{2}}dt}\)

[miodzio1988]

warunek na rozklad mamy jaki?

[midek]

hmm, to powinno być w zadaniu? czy mam to wiedzieć i na to odpowiedzieć?

[miodzio1988]

Ty masz wiedziec

[midek]

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dxdy = 1}\)

[miodzio1988]

zgadza się. Zatem policz odpowiednią calke

[midek]

Nie bardzo wiem jak, ale spróbuję:

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dxdy = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} a \exp\{-\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4}\}dxdy = a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{x^2}{2}\}dx \cdot a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{y^2}{2}\}dy}\)

Nie wiem, jak obliczyć to exp, bo nie ma we wzorach na całki.

[miodzio1988]

rozkład normalny sie klania

[Spektralny]

sekcja Przykłady.

[midek]

Co do rozkładu normalnego nie wiem, o co chodzi. Jego wzór na gęstość mam zastosować w obliczeniu całek?

Spektralny:
chodzi o
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}}\)

Jeśli tak, to wtedy co z dwójką w mianowniku?

[Spektralny]

Znając tę całkę możesz oblicząć podobne: w Twoim przypadku wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=\tfrac{y}{\sqrt{2}}}\) by przekonać się, że całka która Cię interesuje wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{\pi}}\).

[midek]

Tak miało wyglądać?

\(\displaystyle{ a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}{2}\}dx \cdot a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}{2}\}dy = a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{y^2}{4}\}dx \cdot a \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\frac{x^2}{4}\}dy}\)

[Spektralny]

\(\displaystyle{ 1 = a \int_\infty^\infty\int_\infty^\infty \exp(-\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4})\mbox{d}x\mbox{d}y = a \sqrt{2\pi}\int_\infty^\infty \exp(- \frac{y^2}{4})\mbox{d}y}\)

a więc \(\displaystyle{ a=?}\) Czy masz jakieś skojarzenie z rozkładem normalnym?

[midek]

Więc trzeba podzielić przez 1 całe wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2\pi}\int_\infty^\infty \exp(- \frac{y^2}{4})\mbox{d}}\)y, czyli \(\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\int_\infty^\infty \exp(- \frac{y^2}{4})\mbox{d}y}}\)

Dobrze?

Skojarzenie? Miałem, ale bardzo skomplikowany. W tym temacie jest:
332081.htm

[Spektralny]

Tak, ale wypadałoby tę całkę w mianowniku policzyć, na przykład metodą zaproponowaną przeze mnie w jednym powyższych postów.