Witam, ostatnio sformułowałem następującą hipotezę dotyczącą macierzy stochastycznych (tj. macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ m\times m}\) o nieujemnych wyrazach takich, że elementy wierszy sumują się do \(\displaystyle{ 1}\)) i macierzy ergodycznych, tj. macierzy, dla których:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}A^n=\left[\begin{array}{ccc}e_1 & \ldots & e_m \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ e_1 & \ldots & e_m\end{array}\right]}\)
dla \(\displaystyle{ e_i\geqslant 0}\), \(\displaystyle{ i\in\{1,\ldots,m\}}\), \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m} e_k = 1}\).
Hipoteza. Niech \(\displaystyle{ A_{m\times m}}\) będzie macierzą stochastyczną. Wówczas \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą ergodyczną wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A^{m-1}}\) posiada co najmniej jedną kolumnę o wyrazach ściśle dodatnich.
Ktoś ma pomysł, jak to ugryźć? Albo znaleźć kontrprzykład - mnie się to nie udało?
Pozdrawiam.
Macierz stochastyczna, pozytywność kolumn
-
szw1710