Znajdź rozkład gęstości prawdopodobieństwa

[bartex9]

Witam,
Mam takie zadanie: Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (niezależne) zdefiniowane są poprzez poniższe r.g.p:
\(\displaystyle{ f_{I}(x)= \begin{cases} 2e^{-2y}, x \ge 0 \\ 0, x<0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{II}(y)= \begin{cases} 2e^{-2y}, y \ge 0 \\ 0, y<0 \end{cases}}\)

Znajdź r.g.p. zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=X+Y}\).

Ja to widzę tak: przyjmujemy
\(\displaystyle{ u=x, v=x+y}\)
Szukamy r.g.p. dla zmiennej v, czyli koniec zadania mamy po obliczeniu
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f_{I}(x)f_{II}(v-x)dx}\)

Dobrze myślę?

[pyzol]

To robi się za pomocą splotu gęstości. Możesz też skorzystać z:
tw. Jeśli \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ X_i\sim\mathcal{E}(\lambda)}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=\sum_{i=1}^n X_i}\) ma rozkład gamma \(\displaystyle{ \mathcal{G}(n,\lambda)}\)

[bartex9]

Czyli przyjmujemy
\(\displaystyle{ u=x, v=x+y}\)
Szukamy r.g.p. dla zmiennej v, czyli koniec zadania mamy po obliczeniu
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f_{I}(x)f_{II}(v-x)dx}\)

Dobrze myślę?

[pyzol]

No taką całkę musisz policzyć.

[bartex9]

Ok. Dzięki wielkie za pomoc!-- 6 maja 2013, o 17:03 --To jeszcze jedno pytanie. Po obliczeniu całki dostaję \(\displaystyle{ g(v)=4e^{-2v} \cdot \infty}\). Czy robię coś źle?

[pyzol]

Musiałbyś pokazać rachunki. Możliwe, że gdzieś pominąłeś, że funkcja ta dla ujemnych argumentów przyjmuje \(\displaystyle{ 0}\).

[bartex9]

Już znalazłem błąd. Mimo wszystko dzięki za pomoc!

[pyzol]

Powinno wyjść coś w stylu \(\displaystyle{ 4xe^{-2x}}\)