Losowanie liczb ze zwracaniem

[rafalpw]

Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4\right\}}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)

I sposób(kolejność ma znaczenie):

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=4^2=16}\)
\(\displaystyle{ A}\)- szukane zdarzenie
\(\displaystyle{ \left( 1,2\right),\left( 2,1\right),\left( 2,4\right),\left( 4,2\right),\left( 3,3\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right|=5}\)
\(\displaystyle{ P\left( A\right)= \frac{5}{16}}\)

II sposób(kolejność nie ma znaczenia):

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= {4 \choose 2}+4=10}\) (na ile sposobów można wylosować dwie róże \(\displaystyle{ +}\) na ile sposobów można wylosować takie same)
\(\displaystyle{ A}\) - szukane zdarzenie
\(\displaystyle{ \left( 1,2\right),\left( 2,4\right),\left( 3,3\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right|=3}\) (wyrzucamy powtórzenia)
\(\displaystyle{ P\left( A\right)= \frac{3}{10}}\)

Który sposób jest prawidłowy i dlaczego? Wydawało mi się, że w obydwu przypadkach powinno wyjść to samo, ale jak się okazuje tak nie jest.

[cosinus90]

Nie może wyjść tak samo.
Możesz zapamiętać, że gdy kolejność ma znaczenie, to mamy do czynienia z wariacją, a gdy nie ma - z kombinacją. Dzieje się tak dlatego, że w przypadku kombinacji chcemy mieć po prostu parę liczb która spełnia dane założenie i nie interesuje nas, w jakiej kolejności są ustawione. W przypadku wariacji ze zwracaniem ta kolejność ma kolosalne znaczenie, ponieważ jak sam widzisz są dwa zdarzenia łączące parę dwójki i jedynki.

[rafalpw]

Zatem: który sposób jest prawidłowy i dlaczego?

[cosinus90]

Przeczytaj ze zrozumieniem moją powyższą wypowiedź.
Konkretna odpowiedź brzmi : pierwszy sposób jest poprawny, ponieważ w przypadku wariacji kolejność ma znaczenie. To wynika nawet ze wzorów.

[rafalpw]

W sumie taka odpowiedź nie do końca mnie zadowala. W zadaniu nie ma żadnej wzmianki, że to jest wariacja i nie chodzi mi o wymienianie definicji ani o podawanie wzorów. Chodzi mi o w miarę logiczne wytłumaczenie.

Nie może wyjść tak samo.

To nie jest prawda. Np jak losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3\right\}}\) lub \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}}\) lub jakiegokolwiek innego, który ma podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) liczbę elementów, to wychodzi to samo.
Poza tym, dla zbiorów o coraz większej liczności różnica w wynikach jest coraz mniejsza. Dla \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\}}\) już jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 10^{-2}}\)
Dziwi mnie to, bo wydaje mi się, że można różnie patrzyć na takie losowanie. Przecież można nie zwracać uwagi na kolejność, bo interesuje nas jedynie to, czy suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i wtedy po prostu będziemy mieli mniejszą liczbę zdarzeń losowych i mniejszą liczbę zdarzeń, które spełniają warunki zadania.

[cosinus90]

W zadaniu jest podane że chodzi o wariację, bo losujemy ze zwracaniem. Kombinacja to "natychmiastowe" wybranie pary liczb, nie jednej liczby i potem drugiej liczby.
To, że tak wychodzi dla liczb podzielnych przez 3, to przypadek prawdopodobnie wynikający z treści zadania.