zmienne losowe o jednakowym rozkładzie
zmienne losowe o jednakowym rozkładzie
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ X _{n}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej to \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\max _{k \le n} \left| X _{k} \right| \rightarrow 0}\) z prawdopodobieństwem 1. Z czego tu skorzystać, z jakiej nierówności?
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
zmienne losowe o jednakowym rozkładzie
Bez straty ogólności (i tak interesuje nas wartość bezwzględna \(\displaystyle{ X_{n}}\)) załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{n}}\) jest nieujemna.
Trzeba skorzystać z pierwszej części lematu Borela - Cantellego.
Ustalmy \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i rozważmy ciąg zdarzeń \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}>nx\right\}}\). Ponieważ zmienne losowe są i.i.d., więc zamiast pisać \(\displaystyle{ X_{n}}\) można pisać po prostu \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 0} \mathbb{P}(X>nx)=\sum_{n \ge 0} \mathbb{P}\left(\frac{X}{x}>n \right) \le \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}\left(\frac{X}{x}>t\right)dt= \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}(X>tx)dt= \int_{0}^{ \infty }\left[ 1-F_{X}(tx)\right] dt =x^{-1} \int_{0}^{ \infty }\left[ 1-F_{X}(y)\right]dy=x^{-1}\mathbb{E}X< \infty}\)
Czyli z pierwszej części lematu Borela-Cantellego wynika, że prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń
\(\displaystyle{ \left\{ X_{n}>nx\right\}}\) wynosi zero, a to z kolei oznacza właśnie, że prawie na pewno jest zbieżność prawie na pewno do zera, gdyż \(\displaystyle{ x}\) był wybrany dowolnie.
Trzeba skorzystać z pierwszej części lematu Borela - Cantellego.
Ustalmy \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i rozważmy ciąg zdarzeń \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}>nx\right\}}\). Ponieważ zmienne losowe są i.i.d., więc zamiast pisać \(\displaystyle{ X_{n}}\) można pisać po prostu \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 0} \mathbb{P}(X>nx)=\sum_{n \ge 0} \mathbb{P}\left(\frac{X}{x}>n \right) \le \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}\left(\frac{X}{x}>t\right)dt= \int_{0}^{ \infty }\mathbb{P}(X>tx)dt= \int_{0}^{ \infty }\left[ 1-F_{X}(tx)\right] dt =x^{-1} \int_{0}^{ \infty }\left[ 1-F_{X}(y)\right]dy=x^{-1}\mathbb{E}X< \infty}\)
Czyli z pierwszej części lematu Borela-Cantellego wynika, że prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń
\(\displaystyle{ \left\{ X_{n}>nx\right\}}\) wynosi zero, a to z kolei oznacza właśnie, że prawie na pewno jest zbieżność prawie na pewno do zera, gdyż \(\displaystyle{ x}\) był wybrany dowolnie.