szacowanie szeregu

[21mat]

Pokaż, że istnieje \(\displaystyle{ D>0}\), taka że \(\displaystyle{ \forall k \in N}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{D} \frac{1}{k} \le \sum_{n=k}^{ \infty } \frac{1}{n ^{2} } \le D \frac{1}{k}}\)
Z czego tu skorzystać?

[brzoskwinka1]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{k} = \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \le \sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{n^2} \le \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)} =\frac{1}{k-1} .}\)
Stąd już łatwo widać, że można wziąć \(\displaystyle{ D=2 .}\)