Pewien spammer wysłał 150 emaili do klientów pewnego banku z prośbą o pilne udostępnienie numerów kart kredytowych. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana osoba, która otrzymała taki list, wyśle przestępcy numer swojej karty wynosi 0.03. Obliczyć prawdopodobieństwo (dokładnie i za pomocą twierdzenia Poissona), że spammer otrzyma co najmniej 4 numery kart.
mamy
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(k\ge4)=1-\mathbb{P}(k<4)=1-\sum_{k=0}^3{150\choose k}\cdot\left(\frac3{100}\right)^k\cdot\left(\frac{97}{100}\right)^{150-k}}\)
Zastanawiam się teraz nad tym szacowaniem przy użyciu tw. Poissona i chyba czegoś nie rozumiem. Skoro w założeniach mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}np_n=\lambda>0}\), gdzie \(\displaystyle{ (p_n)}\) jest ciągiem prawdopodobieństw sukcesów, to przecież w schemacie Bernoulliego jest to ciąg stały, więc ta granica nigdy nie jest skończona.
??
Szacowanie p-stwa poprzez twierdzenie Poissona
-
lesmate
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 4 wrz 2012, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 39 razy
Szacowanie p-stwa poprzez twierdzenie Poissona
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{\lambada^k}{k!}e^{-\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \lambda = n\cdot p=150\cdot 0,03=4,5}\)
\(\displaystyle{ P(X=0)=e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{4,5}{1}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{4,5^2}{2}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=3)=\frac{4,5^3}{6}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ 1-P\left( X<4\right)=1-\left( P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\right)}\)
\(\displaystyle{ \lambda = n\cdot p=150\cdot 0,03=4,5}\)
\(\displaystyle{ P(X=0)=e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{4,5}{1}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{4,5^2}{2}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ P(X=3)=\frac{4,5^3}{6}e^{-4,5}}\)
\(\displaystyle{ 1-P\left( X<4\right)=1-\left( P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\right)}\)