Rozkład gęstości prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
opheliac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 18 paź 2011, o 14:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa

Post autor: opheliac »

Proszę znaleźć r.g.p. dla zmiennej losowej U = XY, jeżeli znamy r.g.p. opisujący zmienne losowe X oraz Y w postaci f(x,y).


Proszę o jakiekolwiek wskazówki, niestety wykład jest prowadzony bardzo niezrozumiale i nie wiem jak się zabrać za takie zadanie. :/

Czy chodzi tu o splot funkcji?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa

Post autor: tometomek91 »

Nie, splot jest gęstością sumy zmiennych losowych.

Tutaj mamy:
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{xy<t \} } f(x,y)dxdy}\)
podstawmy \(\displaystyle{ u=x}\) i \(\displaystyle{ v=xy}\). Wtedy obszar \(\displaystyle{ \{(x,y):\ xy<t \}}\) przechodzi na \(\displaystyle{ \{(u,v): v<t \}}\) oraz jakobian tego przekształcenia to \(\displaystyle{ u}\) i mamy dalej
\(\displaystyle{ =\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\).
Ostatnio zmieniony 24 kwie 2013, o 18:14 przez tometomek91, łącznie zmieniany 1 raz.
opheliac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 18 paź 2011, o 14:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa

Post autor: opheliac »

\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{xy<t \} } f(x,y)dxdy}\) to z dystrybuanty?

Czy coś dalej mam z tym zrobić, czy to już koniec zadania ?

Znalazłam też taki wzór: \(\displaystyle{ h(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(v,\frac{u}{v})\frac{1}{|v|}dv}\) ale nie wiem skąd się bierze i jak do niego dojść
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa

Post autor: tometomek91 »

Dochodzi się do niego tak:

Jak już mamy to co napisałem, to wtedy
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv=\int_{-\infty}^{t} \int_{-\infty}^{+\infty} |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\)
i różniczkujemy stronami po t i dostaniemy to co Ty napisałaś

no i to jest szukana gęstość.
ODPOWIEDZ