Proszę znaleźć r.g.p. dla zmiennej losowej U = XY, jeżeli znamy r.g.p. opisujący zmienne losowe X oraz Y w postaci f(x,y).
Proszę o jakiekolwiek wskazówki, niestety wykład jest prowadzony bardzo niezrozumiale i nie wiem jak się zabrać za takie zadanie. :/
Czy chodzi tu o splot funkcji?
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa
Nie, splot jest gęstością sumy zmiennych losowych.
Tutaj mamy:
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{xy<t \} } f(x,y)dxdy}\)
podstawmy \(\displaystyle{ u=x}\) i \(\displaystyle{ v=xy}\). Wtedy obszar \(\displaystyle{ \{(x,y):\ xy<t \}}\) przechodzi na \(\displaystyle{ \{(u,v): v<t \}}\) oraz jakobian tego przekształcenia to \(\displaystyle{ u}\) i mamy dalej
\(\displaystyle{ =\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\).
Tutaj mamy:
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{xy<t \} } f(x,y)dxdy}\)
podstawmy \(\displaystyle{ u=x}\) i \(\displaystyle{ v=xy}\). Wtedy obszar \(\displaystyle{ \{(x,y):\ xy<t \}}\) przechodzi na \(\displaystyle{ \{(u,v): v<t \}}\) oraz jakobian tego przekształcenia to \(\displaystyle{ u}\) i mamy dalej
\(\displaystyle{ =\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\).
Ostatnio zmieniony 24 kwie 2013, o 18:14 przez tometomek91, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 18 paź 2011, o 14:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{xy<t \} } f(x,y)dxdy}\) to z dystrybuanty?
Czy coś dalej mam z tym zrobić, czy to już koniec zadania ?
Znalazłam też taki wzór: \(\displaystyle{ h(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(v,\frac{u}{v})\frac{1}{|v|}dv}\) ale nie wiem skąd się bierze i jak do niego dojść
Czy coś dalej mam z tym zrobić, czy to już koniec zadania ?
Znalazłam też taki wzór: \(\displaystyle{ h(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(v,\frac{u}{v})\frac{1}{|v|}dv}\) ale nie wiem skąd się bierze i jak do niego dojść
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa
Dochodzi się do niego tak:
Jak już mamy to co napisałem, to wtedy
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv=\int_{-\infty}^{t} \int_{-\infty}^{+\infty} |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\)
i różniczkujemy stronami po t i dostaniemy to co Ty napisałaś
no i to jest szukana gęstość.
Jak już mamy to co napisałem, to wtedy
\(\displaystyle{ P(XY<t)=\int_{ \{v<t \} } |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv=\int_{-\infty}^{t} \int_{-\infty}^{+\infty} |u| f \left( u, \frac{v}{u} \right) dudv}\)
i różniczkujemy stronami po t i dostaniemy to co Ty napisałaś
no i to jest szukana gęstość.