W umie znajduje się pięć kul czerwonych, trzy kule białe i dwie kule zielone. Losujemy kolejno,
bez zwracania po jednej kuli z urny aż do momentu pojawienia się po raz pierwszy kuli białej; w tym
momencie kończymy losowanie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul znajdzie się
przynajmniej jedna zielona.
Jakieś wskazówki?
kule - prawdopodobieństwo
-
niebieska_biedronka
- Użytkownik
- Posty: 397
- Rejestracja: 8 paź 2011, o 15:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 96 razy
- Pomógł: 19 razy
-
Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
kule - prawdopodobieństwo
Jeśli się nie mylę...
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że wśród wylosowanych kul znajdzie się przynajmniej jedna zielona
Zauważ, że wszystkie kombinacje możliwych losowań możemy podzielić na osiem "grup":
1. Gdy biała kula zostanie wylosowana za pierwszym razem
2. Gdy biała kula zostanie wylosowana za drugim razem, itd.
8. Gdy biała kula zostanie wylosowana za ósmym razem
Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1}}\), czyli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) dla pierwszej "grupy". Ostatecznie \(\displaystyle{ P\left( A\right)}\) wyraża się:
\(\displaystyle{ P\left( A\right) = P\left( A_{1} \right) + P\left( A_{2} \right) + \cdot \cdot \cdot + P\left( A_{8} \right)}\)
Myślę, że to dość zrozumiały sposób;)
Pozdrawiam,
Vether
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że wśród wylosowanych kul znajdzie się przynajmniej jedna zielona
Zauważ, że wszystkie kombinacje możliwych losowań możemy podzielić na osiem "grup":
1. Gdy biała kula zostanie wylosowana za pierwszym razem
2. Gdy biała kula zostanie wylosowana za drugim razem, itd.
8. Gdy biała kula zostanie wylosowana za ósmym razem
Następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1}}\), czyli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) dla pierwszej "grupy". Ostatecznie \(\displaystyle{ P\left( A\right)}\) wyraża się:
\(\displaystyle{ P\left( A\right) = P\left( A_{1} \right) + P\left( A_{2} \right) + \cdot \cdot \cdot + P\left( A_{8} \right)}\)
Myślę, że to dość zrozumiały sposób;)
Pozdrawiam,
Vether
-
niebieska_biedronka
- Użytkownik
- Posty: 397
- Rejestracja: 8 paź 2011, o 15:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 96 razy
- Pomógł: 19 razy
kule - prawdopodobieństwo
mam wyliczać te prawdopodobieństwa poprzez wypisywanie wszystkich elementów odp. zdarzeń i omegi?
to jeszcze jedno od razu:
Mamy pięć urn, a w każdej z nich po cztery kule. W pierwszej i drugiej urnie skład kul jest
taki sam: jedna czarna i trzy białe. W trzeciej urnie są dwie czarne i dwie białe kule, w czwartej urnie trzy
czarne i jedna biała, a w piątej urnie cztery czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
etap 1: losujemy urnę (prawdopodobieństwo wylosowania każdej z pięciu urn jest takie same);
etap 2: z wylosowanej urny losujemy jedną kulę i odkładamy na bok;
etap 3: z tej samej urny losujemy następną kulę.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli w trzecim etapie pod warunkiem, że w drugim etapie
wylosujemy kulę czarną.
jest mnóstwo zadań tego typu, nie wiem czy korzystać ze zwykłego wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, czy ze wzoru Bayesa i jak oznaczać zdarzenia, żeby było dobrze...
to jeszcze jedno od razu:
Mamy pięć urn, a w każdej z nich po cztery kule. W pierwszej i drugiej urnie skład kul jest
taki sam: jedna czarna i trzy białe. W trzeciej urnie są dwie czarne i dwie białe kule, w czwartej urnie trzy
czarne i jedna biała, a w piątej urnie cztery czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
etap 1: losujemy urnę (prawdopodobieństwo wylosowania każdej z pięciu urn jest takie same);
etap 2: z wylosowanej urny losujemy jedną kulę i odkładamy na bok;
etap 3: z tej samej urny losujemy następną kulę.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli w trzecim etapie pod warunkiem, że w drugim etapie
wylosujemy kulę czarną.
jest mnóstwo zadań tego typu, nie wiem czy korzystać ze zwykłego wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, czy ze wzoru Bayesa i jak oznaczać zdarzenia, żeby było dobrze...
-
Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
kule - prawdopodobieństwo
Najłatwiej będzie podzielić zdarzenia w "grupach" na zdarzenia elementarne \(\displaystyle{ B, C, D...}\), które będą zdarzeniami elementarnymi i będą oznaczały pojedyncze losowanie. Potem tylko uwzględnij ile jest możliwości sprzyjającego losowania. Zauważ, że np. trzecia "grupa" spełnia warunki na kilka sposobów:
1. Z - Z - B
2. CZ - Z - B
3. Z - CZ - B
Powodzenia
Pozdrawiam,
Vether-- 22 kwi 2013, o 21:54 --Najpierw zajmij się tym pierwszym, będzie ci łatwiej zrobić następne, jeśli zrozumiesz sam sposób. Pewnie znajdzie się ktoś, kto wyskoczy z symbolkami Newtona, itp ale polecam najpierw zrobić tego typu zadanie łopatologicznie. W drugim najłatwiej też będzie podzielić sobie całość na "grupki". Zauważ, że dla pierwszych dwóch urn, niemożliwe jest spełnienie warunków zadania, a z kolei dla piątej prawdopodobieństwo ich spełnienia w trzecim etapie wynosi 1.
Pozdrawiam,
Vether
1. Z - Z - B
2. CZ - Z - B
3. Z - CZ - B
Powodzenia
Pozdrawiam,
Vether-- 22 kwi 2013, o 21:54 --Najpierw zajmij się tym pierwszym, będzie ci łatwiej zrobić następne, jeśli zrozumiesz sam sposób. Pewnie znajdzie się ktoś, kto wyskoczy z symbolkami Newtona, itp ale polecam najpierw zrobić tego typu zadanie łopatologicznie. W drugim najłatwiej też będzie podzielić sobie całość na "grupki". Zauważ, że dla pierwszych dwóch urn, niemożliwe jest spełnienie warunków zadania, a z kolei dla piątej prawdopodobieństwo ich spełnienia w trzecim etapie wynosi 1.
Pozdrawiam,
Vether
-
niebieska_biedronka
- Użytkownik
- Posty: 397
- Rejestracja: 8 paź 2011, o 15:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 96 razy
- Pomógł: 19 razy
kule - prawdopodobieństwo
nie bardzo rozumiem dzielenie na te "grupy"...
i nie bardzo mogę sobie pozwolić na łopatologiczne rozwalanie zadań w tej chwili z braku czasu szukam raczej schematu, który pozwoli mi poradzić sobie z tego typu zadaniem od ręki...
i nie bardzo mogę sobie pozwolić na łopatologiczne rozwalanie zadań w tej chwili z braku czasu szukam raczej schematu, który pozwoli mi poradzić sobie z tego typu zadaniem od ręki...
-
Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
kule - prawdopodobieństwo
"Dzielenie na grupy" ułatwi Ci wypisanie wszystkich możliwości losowań sprzyjających. Wszystko ładnie idzie;)
\(\displaystyle{ 1^o}\) biała wylosowana za pierwszym razem
Zauważmy, że jeśli kula biała zostanie wylosowana za pierwszym razem, nie istnieje możliwość spełnienia warunków zadania, stąd:
\(\displaystyle{ P\left( A_{1} \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\) biała wylosowana za drugim razem
Wówczas istnieje tylko jedna sprzyjająca nam kombinacja losowania: Z - B:
\(\displaystyle{ P\left( A_{2} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9}}\)
W pierwszym losowaniu elementarnym wybieramy zieloną kulę, których jest 2 spośród wszystkich 10, a w drugim białą, których jest 3 spośród pozostałych 9.
\(\displaystyle{ 3^o}\) biała wylosowana za trzecim razem
Wówczas musimy rozważyć wszystkie możliwe sytuacje:
dwie zielone i biała (występuje raz)
zielona, czerwona i biała (występuje dwa razy)
\(\displaystyle{ P\left( A_{3} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{8}}\)
I tak dalej...
Pozdrawiam,
Vether
\(\displaystyle{ 1^o}\) biała wylosowana za pierwszym razem
Zauważmy, że jeśli kula biała zostanie wylosowana za pierwszym razem, nie istnieje możliwość spełnienia warunków zadania, stąd:
\(\displaystyle{ P\left( A_{1} \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\) biała wylosowana za drugim razem
Wówczas istnieje tylko jedna sprzyjająca nam kombinacja losowania: Z - B:
\(\displaystyle{ P\left( A_{2} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{9}}\)
W pierwszym losowaniu elementarnym wybieramy zieloną kulę, których jest 2 spośród wszystkich 10, a w drugim białą, których jest 3 spośród pozostałych 9.
\(\displaystyle{ 3^o}\) biała wylosowana za trzecim razem
Wówczas musimy rozważyć wszystkie możliwe sytuacje:
dwie zielone i biała (występuje raz)
zielona, czerwona i biała (występuje dwa razy)
\(\displaystyle{ P\left( A_{3} \right) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{8}}\)
I tak dalej...
Pozdrawiam,
Vether