Zadanie dowodowe

[H4llow]

Mam takie zadanie.

Para (\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\), P) jest przestrzenią probabilistyczną, a \(\displaystyle{ A \mathbb\overline{\overline{\Omega}}}\) i \(\displaystyle{ B \mathbb\overline{\overline{\Omega}}}\) są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli P \(\displaystyle{ A\cup B=1}\), to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym, tj. P(A)=1 lub P(B)=1.

i nie wiem jak się za nie zabrać.

Dziękuję za pomoc.

PS: ofkoz tam omega to nie jest moc omega, tylko zwykła pusta omega

[abrasax]

mamy \(\displaystyle{ P(A \cup B)=1}\)
z drugiej strony \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)}\) (bo zdarzenia są niezależne)

porównujemy stronami
\(\displaystyle{ P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1}\)
\(\displaystyle{ P(A)(1-P(B))+P(B)-1=0}\)
\(\displaystyle{ P(A)(1-P(B))-(1-P(B))=0}\)
\(\displaystyle{ (1-P(B))(P(A)-1)=0}\)

\(\displaystyle{ 1-P(B)=0}\)
\(\displaystyle{ P(B)=1}\)
lub
\(\displaystyle{ P(A)-1=0}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1}\)