Witam,
mam takie zadanie:
Na każdym z sześciennych klocków, które ma Tomek, zapisana jest jedna cyfra. Pewnego dnia chłopiec ustawił w szereg siedem klocków, otrzymując liczbę siedmiocyfrową. Po chwili z utworzonego szeregu wysunął wszystkie klocki z cyfrą 5. Wówczas cyfry na pozostawionych klockach utworzyły liczbę 2010. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba siedmiocyfrowa była:
a) większa od 5000000
Widziałam na różnych forach różne dziwne jego rozwiązania.
Ja sama obliczyłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ |\Omega| = {7 \choose 4} = 35}\)
Wybrałam 4 miejsca dla 2, 0, 1, 0, które to liczby mogą być ustawione tylko w jeden sposób. Na pozostałych 3 miejscach automatycznie staną 5.
Z kolei moc zdarzenia A - liczba jest większa od 5 mln. wyszła mi z kombinacji 6 po 4:
\(\displaystyle{ |A|= {6 \choose 4} = 15}\)
Po pierwsze pomyślałam, że komuś może się to przydać.
Po drugie zastanawia mnie pewna kwestia: otóż spotkałam się z takim stwierdzeniem:
To że klocki z cyframi:
\(\displaystyle{ 2, 0, 1, 0}\)
ułożyły się akurat w tej kolejności nie należy do zdarzenia losowego, więc możemy obliczyć po prostu permutację zbioru 7 elementowego:
\(\displaystyle{ |\Omega|=7!}\)
liczbę większą od 5 mln. tworzymy na
\(\displaystyle{ 3 \cdot 6!}\)
sposobów (na pierwszym miejscu jedna z trzech piątek, reszta dowolnie).
Ostateczny wynik jest ten sam.
W tym miejscu chciałabym zapytać, czy to zawsze tak będzie, tzn. czy zawsze możemy zignorować w podobnym przypadku warunek, to że wiemy jak ułożyła się część liczb.
Permutacje, a może nie.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Permutacje, a może nie.
Zerknij tutaj: https://www.matematyka.pl/313223.htm#p4999169
Oczywiście Twój sposób rozwiązania jest jak najbardziej poprawny (dla mnie nawet ładniejszy niż mój w linku powyżej).
Jeżeli chodzi o drugi podany sposób, to w tym konkretnym przypadku można uznać go za poprawny ale wymaga zapisania wyraźnych dodatkowych założeń/wyjaśnień:
a) o rozróżnialności jednakowych cyfr (zer i piątek) Możemy np. założyć, że klocki z cyframi mają różne kolory. Gdy tego nie zrobimy, to należałoby skorzystać z permutacji z powtórzeniami i wówczas:
\(\displaystyle{ |\Omega|= \frac{7!}{2! \cdot 3!}}\)
\(\displaystyle{ |A|= \frac{6!}{2! \cdot 2!}}\)
b) o równoważności modeli (*) z zadania (konkretny układ czterech wyróżnionych cyfr) i z naszego rozwiązania (dowolny układ czterech wyróżnionych cyfr)
(*) Chodzi o to, że dla tej treści zadania obydwa modele można uznać za równoważne ponieważ ilość wszystkich możliwych zdarzeń oraz ilość zdarzeń sprzyjających jest w jednym modelu o tyle samo razy razy większa niż w drugim modelu. Tym samym przy liczeniu p-stwa czynnik ten się skróci i wynik będzie taki sam.
Oczywiście nie zawsze tak będzie i trzeba być ostrożnym ze stosowaniem takiego sposobu rozwiązania tzn. trzeba wiedzieć kiedy taki "zabieg" można i warto zastosować.
Oczywiście Twój sposób rozwiązania jest jak najbardziej poprawny (dla mnie nawet ładniejszy niż mój w linku powyżej).
Jeżeli chodzi o drugi podany sposób, to w tym konkretnym przypadku można uznać go za poprawny ale wymaga zapisania wyraźnych dodatkowych założeń/wyjaśnień:
a) o rozróżnialności jednakowych cyfr (zer i piątek) Możemy np. założyć, że klocki z cyframi mają różne kolory. Gdy tego nie zrobimy, to należałoby skorzystać z permutacji z powtórzeniami i wówczas:
\(\displaystyle{ |\Omega|= \frac{7!}{2! \cdot 3!}}\)
\(\displaystyle{ |A|= \frac{6!}{2! \cdot 2!}}\)
b) o równoważności modeli (*) z zadania (konkretny układ czterech wyróżnionych cyfr) i z naszego rozwiązania (dowolny układ czterech wyróżnionych cyfr)
(*) Chodzi o to, że dla tej treści zadania obydwa modele można uznać za równoważne ponieważ ilość wszystkich możliwych zdarzeń oraz ilość zdarzeń sprzyjających jest w jednym modelu o tyle samo razy razy większa niż w drugim modelu. Tym samym przy liczeniu p-stwa czynnik ten się skróci i wynik będzie taki sam.
Oczywiście nie zawsze tak będzie i trzeba być ostrożnym ze stosowaniem takiego sposobu rozwiązania tzn. trzeba wiedzieć kiedy taki "zabieg" można i warto zastosować.