Mam problem z zadaniem:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o dystrybuancie
\(\displaystyle{ F(x,y)= \begin{cases} 1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y} \quad x,y \ge 0 \\ 0, \ x<0 \ lub \ y<0 \end{cases}}\). Wyznaczyć gęstość tej zmiennej. Proszę o pomoc.
Wiem że w przypadku jednowymiarowym wystarczy policzyć pochodną, a tu nie znam wzoru.
Dystrybuanta zmiennej losowej
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 paź 2012, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 10 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Dystrybuanta zmiennej losowej
\(\displaystyle{ F(x,y)= \begin{cases} 1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y} \quad x,y \ge 0 \\ 0, \ x<0 \ lub \ y<0 \end{cases} = \begin{cases} (1-e^{-x}) (1-e^{-y}) \quad x,y \ge 0 \\ 0, \ x<0 \ lub \ y<0 \end{cases}}\)
Czyli jest to rozkład łączny dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym. Stąd gęstość to będzie po prostu iloczyn gęstości brzegowych.
Może dodam jako uzupełnienie: w ogólności tak nie musi być. Dla dowolnego przypadku (absolutnie ciągłego rozkłądu) mamy tak:
\(\displaystyle{ F(x,y)= \iint_{\left\{ s \le x, \ t \le y\right\} } f(s,t) \ \mbox{d}s \mbox{d}t = \int_{-\infty}^{x} \left( \int_{-\infty}^{y}f(s,t) \mbox{d}t \right) \mbox{d}s}\)
Stąd, z własności funkcji górnej granicy całkowania dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}F}{ \partial x \partial y}= f(x,y)}\)
Czyli jest to rozkład łączny dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym. Stąd gęstość to będzie po prostu iloczyn gęstości brzegowych.
Może dodam jako uzupełnienie: w ogólności tak nie musi być. Dla dowolnego przypadku (absolutnie ciągłego rozkłądu) mamy tak:
\(\displaystyle{ F(x,y)= \iint_{\left\{ s \le x, \ t \le y\right\} } f(s,t) \ \mbox{d}s \mbox{d}t = \int_{-\infty}^{x} \left( \int_{-\infty}^{y}f(s,t) \mbox{d}t \right) \mbox{d}s}\)
Stąd, z własności funkcji górnej granicy całkowania dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}F}{ \partial x \partial y}= f(x,y)}\)