Stochastyczna równoważność a nierozróżnialność procesów

[Kmitah]

Mamy tu do czynienia z procesami stochastycznymi z czasem ciągłym. \(\displaystyle{ t\in T}\), \(\displaystyle{ (X, \Sigma, P)}\) \(\displaystyle{ -}\) ustalona przestrzeń probabilistyczna.

Mówimy, że procesy stochastyczne \(\displaystyle{ (X_t)}\) i \(\displaystyle{ (X'_t)}\) są stochastycznie równoważne, gdy \(\displaystyle{ \forall t\in T P(\{X_t \neq X'_t\})=0}\). Mówimy zaś, że są stochastycznie nierozróżnialne, gdy \(\displaystyle{ P(\{\forall t\in T X_t \neq X'_t\})=0}\).

Oczywiste jest, że jeśli procesy są stochastycznie nierozróżnialne, to są stochastycznie równoważne i że jeśli mamy do czynienia z procesami dyskretnymi, to oba pojęcia są równoważne, bo przeliczalna suma zdarzeń miary zero jest zdarzeniem miary zero. Pytanie jednak, jak udowodnić, że:

Jeśli procesy są stochastycznie równoważne i prawostronnie ciągłe z lewostronnymi granicami, to są stochastycznie nierozróżnialne.

[Kartezjusz]

Jak definiujesz ciągłość procesów.

[Kmitah]

Proces stochastyczny nazywamy ciągłym \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe.