Współczynnik korelacji

[stasia]

Witam. Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu poniższego zadania. Szczerze mówiąc nie mam pojęcia jak się za to zabrać... Bardzo proszę o jakąkolwiek pomoc...


Rozważmy urządzenie przekazujące sygnały. Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) opisuje przekazywany sygnał. W wyniku zaburzeń odbiornik odbiera sygnał \(\displaystyle{ Y}\) opisany wzorem

\(\displaystyle{ Y= \alpha X+ \Delta ,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) -współczynnik wzmocnienia, \(\displaystyle{ \Delta}\) -współczynnik zaburzeń. Zakładamy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X, \Delta}\) są niezależne.
Ponadto

\(\displaystyle{ EX=a, D^{2}X=1, E\Delta=0, D^{2}\Delta=\sigma^{2}}\).

Wyznacz współczynnik korelacji pomiędzy \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\).

[Kartezjusz]

Zapisz na to wzorek

[stasia]

znalazłam taki wzór na współczynnik korelacji \(\displaystyle{ r _{XY} = \frac{cov(X,Y)}{ \sqrt{D^{2}X} \cdot \sqrt{D^{2}Y} }}\),

gdzie \(\displaystyle{ cov(X,Y)=E(X \cdot Y)-E(X) \cdot E(Y)}\)

i problem mam z policzeniem \(\displaystyle{ E(X \cdot Y)}\) i \(\displaystyle{ D^{2}(Y)}\)

[Kartezjusz]

Ważne info \(\displaystyle{ X,\Delta}\) są niezależne.

[stasia]

Zrobiłam to tak:

\(\displaystyle{ E(X \cdot Y)=E(X( \alpha X+\Delta))=\\
=E( X\alpha X+X\Delta)=\\
=E(\alpha X^{2})+E(X\Delta)= niezalezne\\}\)
\(\displaystyle{ =\alpha E(X^{2})+E(X) \cdot E(\Delta)= (*)}\)

Brakowało mi \(\displaystyle{ E(X^{2})}\) więc gdzieś znalazłam wzór \(\displaystyle{ D^{2}X=E(X^{2})-(EX)^{2}}\), ale nie wiem czy mogę go tutaj stosować?
Jednak go zastosowałam i otrzymałam, że \(\displaystyle{ E(X^2)=1-a^2}\)

Zatem \(\displaystyle{ (*)=E(X \cdot Y)= \alpha (1-a^2)}\)

Następnie do \(\displaystyle{ cov(X,Y)}\) potrzebuje jeszcze \(\displaystyle{ E(Y)}\) i liczę
\(\displaystyle{ E(Y)=E( \alpha X+\Delta)=E( \alpha X)+E(\Delta)= \alpha E(X)+E(\Delta)= \alpha a+0= \alpha a}\)

Później próbowałam policzyć \(\displaystyle{ D^2Y}\) znowu z tego wzoru, który nie wiem czy mogę stosować
\(\displaystyle{ D^2Y=E(Y^{2})-(EY)^{2}//}\)

Znowu brakuje mi
\(\displaystyle{ E(Y^2)\ wiec \ licze E(Y^2)=E(( \alpha X+\Delta)^2)= E( \alpha ^2X^2+2 \alpha X\Delta+\Delta^2)=\\
= \alpha ^2E(X^2)+2 \alpha E(X\Delta)+E( \Delta^2 )=\\
= \alpha ^2(1-a^2)+2 \alpha E(X)E(\Delta)+\sigma^2 ,\\ bo\ na \ boku \ wyliczylam\ znowu,\ ze}\),
\(\displaystyle{ E( \Delta^2 )=\sigma^2}\)
Zatem \(\displaystyle{ D^2Y=\alpha ^2(1-2a^2)++\sigma^2}\)

i po podstawieniu do wzoru na współczynnik korelacji mam:

\(\displaystyle{ r _{XY}= \frac{ \alpha(1-2a^2) }{ \sqrt{\alpha ^2(1-2a^2)+\sigma^2} }}\)


Dobrze to jest?

[Kartezjusz]

Tak. Możesz używać,bo to jest bo wariancje masz dane.

[stasia]

Bardzo Ci dziękuje za pomoc

[pawel0xx]

...
Brakowało mi \(\displaystyle{ E(X^{2})}\) więc gdzieś znalazłam wzór \(\displaystyle{ D^{2}X=E(X^{2})-(EX)^{2}}\), ale nie wiem czy mogę go tutaj stosować?
Jednak go zastosowałam i otrzymałam, że \(\displaystyle{ E(X^2)=1-a^2}\)
...

Czy nie powinno tam być czasem?

\(\displaystyle{ E(X^2)=1+a^2}\)

skoro:
\(\displaystyle{ D^{2}X=E(X^{2})-(EX)^{2}}\),
zatem
\(\displaystyle{ D^{2}X+(EX)^{2}=E(X^{2})}\)

czyli:
\(\displaystyle{ 1+a^2=E(X^{2})}\).

Czy to może ja coś źle liczę i nie wiem gdzie robię błąd???



Później wartość współczynnika korelacji jest całkowicie inny...