Przekształcenie linowe zmiennej losowej.

[Vito_Manager]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu i wytłumaczeniu tego zadania.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości \(\displaystyle{ f _{X}}\) i dystrybuancie \(\displaystyle{ F _{X}}\) .
Wykazać, że gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=aX+b}\). Wyrażają się wzorami \(\displaystyle{ f _{Y} \left( y \right) = \frac{1}{\left| a\right| } f _{X} \left( \frac{y-b}{a} \right)}\) i \(\displaystyle{ F _{Y} \left( y \right) =F _{X} \left( \frac{y-b}{a} \right)}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\) i
\(\displaystyle{ F _{Y} \left( y \right) =1- F _{X} \left( \frac{y-b}{a} \right)}\) dla \(\displaystyle{ a<0}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ a>0\\
F_Y \left( t \right) =P \left( Y \le t \right) =P \left( aX+b \le t \right) =P \left( X \le \frac{t-b}{a} \right) =F_X\left(\frac{t-b}{a} \right)}\)