zastosowanie lematu Borela-Cantellego
zastosowanie lematu Borela-Cantellego
Rzucamy nieskończenie wiele razy symetryczną monetą. Niech \(\displaystyle{ k _{n}}\) będzie długością serii samych orłów licząc od n-tego rzutu. Pokaż, że \(\displaystyle{ P( \limsup_{ n \to \infty } \frac{k _{n} }{log _{2}n } \le 1)=1}\). Wiem, że trzeba skorzystać z lematu Borela-Cantelliego i rozważyć zdarzenia \(\displaystyle{ A _{n}=\left\{ k _{n} \ge (1+\epsilon)log _{2}n \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) Pomoże ktoś?
-
brzoskwinka1
zastosowanie lematu Borela-Cantellego
\(\displaystyle{ P(A^{\varepsilon}_n ) \le \left( \frac{1}{2}\right)^{(1+\varepsilon )\log_2 n} =\frac{1}{n^{1+\varepsilon}} .}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} P(A^{\varepsilon}_n )<\infty .}\)
Więc
\(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{n=j}^{\infty} A^{\varepsilon}_n \right) =0}\)
skąd
\(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{n=j}^{\infty} (X \setminus A^{\varepsilon}_n )\right) =1}\)
więc
\(\displaystyle{ P\left(\limsup_{n\to \infty} \frac{k_n}{\log_2 n} \le 1+\varepsilon \right) \ge P\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{n=j}^{\infty} (X \setminus A^{\varepsilon}_n )\right) =1}\)
co wobec dowolności \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i ciągłości miary daje:
\(\displaystyle{ P(\limsup_{n\to \infty} \frac{k_n}{\log_2 n} \le 1 ) =1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} P(A^{\varepsilon}_n )<\infty .}\)
Więc
\(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{n=j}^{\infty} A^{\varepsilon}_n \right) =0}\)
skąd
\(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{n=j}^{\infty} (X \setminus A^{\varepsilon}_n )\right) =1}\)
więc
\(\displaystyle{ P\left(\limsup_{n\to \infty} \frac{k_n}{\log_2 n} \le 1+\varepsilon \right) \ge P\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{n=j}^{\infty} (X \setminus A^{\varepsilon}_n )\right) =1}\)
co wobec dowolności \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i ciągłości miary daje:
\(\displaystyle{ P(\limsup_{n\to \infty} \frac{k_n}{\log_2 n} \le 1 ) =1}\)