Rozkład zmiennej losowej - Dama Trefl

[sulas]

Miałem do rozwiązania następujące zadanie:

Dana jest pełna talia 52 kart od 2 (dwójek) do A (asów) we wszystkich czterech kolorach (trefl, pik, karo, kier). Załóżmy, że talię potasowano, a następnie rozpoczęto odkrywanie kart, jedna po drugiej.

1) jaki jest średni koszt (tj. liczba odkrytych kart) natrafienia na Damę Trefl?
1) jaki jest średni koszt natrafienia na Damę Trefl, jeżeli wiadomo, że pierwszych 13 kart jest w kolorze trefl lub pik?


Poniżej przedstawię moje rozwiązanie i prosiłbym o sprawdzenie czy jest ono prawidłowe.

Definiuję zmienną losową X, która określa koszt natrafienia na Damę Trefl, natomiast średni koszt oznaczam jako EX, czyli wartość oczekiwaną zmiennej X.

Ad.1)

p(1)= \(\displaystyle{ \frac{1}{52}}\) - prawdopodobieństwo, że pierwsza karta jest Damą Trefl
p(2)= \(\displaystyle{ \frac{1}{52}}\) - prawdopodobieństwo, że druga karta jest Damą Trefl
.
.
.
p(52)= \(\displaystyle{ \frac{1}{52}}\) - prawdopodobieństwo, że ostatnia karta jest Damą Trefl

Korzystam ze standardowego wzoru na wartość oczekiwaną (suma iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane).

\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{52} \cdot 1 + \frac{1}{52} \cdot 2 + \frac{1}{52} \cdot 3 + ... + \frac{1}{52} \cdot 52 = \frac{1+2+3+...+52}{52} = \frac{ \frac{1+52}{2} \cdot 52 }{52} = \frac{53}{2} = 26,5 \approx 27}\)

Czyli średni koszt dla pierwszego przypadku wynosi w przybliżeniu 27kart.


Ad.2)

p(1)= \(\displaystyle{ \frac{1}{26}}\) - prawdopodobieństwo, że pierwsza karta jest Damą Trefl
p(2)= \(\displaystyle{ \frac{1}{26}}\) - prawdopodobieństwo, że druga karta jest Damą Trefl
.
.
.
p(13)= \(\displaystyle{ \frac{1}{26}}\) - prawdopodobieństwo, że 13. karta jest Damą Trefl

(w mianowniku liczba 26 bierze się z sumy liczby kart koloru pik i trefl)

Sumując wartości prawdopodobieństwa (\(\displaystyle{ \frac{1}{26} \cdot 13}\)) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), więc dla pozostałych 39 kart zostaje do podziału prawdopodobieństwo wystąpienia Damy Trefl w tej pozostałej części (karty od 14 do 52) wynoszące w sumie również \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Wszystko to dlatego, że P(omega)=1.

Skąd wziąć prawdopodobieństwo z jakim w pozostałej części kart może wystąpić szukana karta?
Skoro zostało 39 kart, a połowę prawdopodobieństwa już wykorzystaliśmy, to wystarczy bardzo proste równanie:

\(\displaystyle{ 39 \cdot y = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{78}}\)

czyli

p(14)= \(\displaystyle{ \frac{1}{78}}\) - prawdopodobieństwo, że 14. karta jest Damą Trefl
p(15)= \(\displaystyle{ \frac{1}{78}}\) - prawdopodobieństwo, że 15. karta jest Damą Trefl
.
.
.
p(52)= \(\displaystyle{ \frac{1}{78}}\) - prawdopodobieństwo, że 52. karta jest Damą Trefl

Obliczam wartość oczekiwaną:

EX = \(\displaystyle{ \frac{1+2+3+...+13}{26} + \frac{14+15+...+52}{78} = \frac{1560}{78} = 20}\)

Tak więc w drugim przypadku średni koszt się zmniejszył, co było raczej intuicyjne.

Proszę o napisanie swojego zdania na temat rozwiązania tego zadania. Z góry dziękuję

[mortan517]

\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{52} \cdot 1 + \frac{1}{52} \cdot 2 + \frac{1}{52} \cdot 3 + ... + \frac{1}{52} \cdot 52 = \frac{1+2+3+...+52}{52} = \frac{ \frac{1+52}{2} \cdot 52 }{52} = \frac{53}{2} \cdot 52 = 26,5 \approx 27}\)

Literówka jest przy przejściu..

[sulas]

Rzeczywiście, już poprawiłem. Dzięki