rozkład standardowy

[Matematyk111]

Niech X i Y to niezależne zmienne losowe o standardowym rozkładzie normalnym. Obliczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = \frac{Y}{X}}\).

[bartek118]

Znamy wtedy rozkład łączny wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Wtedy rozpatrujemy zamianę zmiennych: \(\displaystyle{ (X,Y) \mapsto \left( XY, \frac{Y}{X} \right)}\) i korzystając ze wzorów na zamianę zmiennych otrzymujemy rozkład wektora \(\displaystyle{ \left( XY, \frac{Y}{X} \right)}\). Potem całkując po odpowiednim brzegu otrzymasz rozkład brzegowy zmiennej \(\displaystyle{ \frac{Y}{X}}\).

[janusz47]

Proponuję najpierw wyprowadzić wzór ogólny na gęstość rozkładu
\(\displaystyle{ U = \frac{X}{Y}}\), gdy zmienne losowe mają ten sam rozkład o funkcji gęstości
\(\displaystyle{ f.}\)

Stosujemy podstawienia np:
\(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}, v = x.}\)

Przekszałcenie odwrotne
\(\displaystyle{ x = v, y = uv}\)

Jakobian tego przekształcenia
\(\displaystyle{ |J| = \left| \begin{array}{cc}0&v\\1&u \end{array}\right| =|v|>0}\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ U=\frac{Y}{X}}\), ma gęstość łaczną
\(\displaystyle{ f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(v, uv)|v| , -\infty < u, v < \infty}\)

Stąd gęstość szukanego ilorazu zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f_{U}(u) = \int_{-\infty}^{\infty}f(u, uv)|v|dv}\)
gdzie w naszym przypadku
\(\displaystyle{ f(u, uv) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(uv)^2}{2}}|v|}\)
Ze względu na symetrię rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\) obliczamy dwie całki od zera do nieskończoności.

[Matematyk111]

Dziękuje:-)