Całka z funkcji charakterystycznej

[studenttt91]

Mam sprawdzić czy podane zdanie są prawdziwe
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left| \varphi (t) \right| dt \le 1}\)
oraz policzyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \varphi (t) dt}\)
W pierwszym wydaje mi się, tak, bo korzystając z \(\displaystyle{ \left| \varphi (t) \right| \le 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left| \varphi (t) \right| dt \le \int_{0}^{1} 1 dt = 1}\)
a co do drugiego doszedłem do (korzystając z tw. Fubiniego)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \varphi (t) dt = \int_{0}^{1} \left( \int_{\mathbb{R}} e^{itx} dF(x) \right) dt= \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{0}^{1} e^{itx} dt \right) dF(x) = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{ix}-1}{ix} dF(x)}\)
Proszę o sprawdzenie pierwszego i pomoc w drugim.

[Spektralny]

Bardzo dobrze. Co do drugiego, to nie wydaje mi się by można to było znacząco uprościć nie wiedząc nic więcej o \(\displaystyle{ F}\) (na przykład tego, czy \(\displaystyle{ F}\) ma gęstość).