Prawdopodobieństwo całkowite

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
sandak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 kwie 2013, o 22:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow

Prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: sandak »

Witam,
mam problem z pewnym zadaniem.

W fabryce pracują trzy typy maszyn : A, B, C, których jest odpowiednio 3, 5 i 1. Każda z maszyn produkuje taką samą ilość towaru w jednostce czasu. Dla typu A mamy: 80% wyrobów klasy I, 18% wyrobów klasy II, resztę stanowią towary wybrakowane, dla typu B odpowiednio 60%, 35%, reszta to towary wybrakowane, dla typu C odpowiednio 40%, 59%, reszta to towary wybrakowane.

Losowo wybrano 3 produkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden będzie I klasy?

Do tego zadania podeszłam w ten sposób, że postanowiłam policzyć P zdarzenia przeciwnego (żaden z produktów nie będzie I klasy) i wynik odjąć od 1. Liczenie sprowadza się więc do ustalenia możliwych trójek produktów, policzenia prawdopodobieństw ich otrzymania (z p. zdarzeń niezależnych oraz p. całkowitego) i zsumowania wyników. Mimo iż otrzymałam wynik zbliżony do poprawnego licząc tym sposobem, zastanawiam się czy istnieje jakiś szybszy i sprytniejszy sposób rozwiązania zadania.
Za wszelkie sugestie z góry dziękuję.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: chris_f »

Można trochę przyśpieszyć:
Miech \(\displaystyle{ x}\) oznacza liczbę produktów produkowaną przez jedną maszynę.
Wtedy:
\(\displaystyle{ 3}\) maszyny typu A wyprodukują \(\displaystyle{ 3\cdot0,8x=2,4x}\) wyrobów klasy I i \(\displaystyle{ 0,6x}\) wyrobów innych klas

\(\displaystyle{ 5}\) maszyn typu B wyprodukuje \(\displaystyle{ 5\cdot0,6x=3,0x}\) wyrobów klasy I i \(\displaystyle{ 2,0x}\) wyrobów innych klas

\(\displaystyle{ 1}\) maszyna typu C wyprodukuje \(\displaystyle{ 1\cdot0,4x=0,4x}\) wyrobów klasy I i \(\displaystyle{ 0,6x}\) wyrobów innych klas

Łącznie wszystkie \(\displaystyle{ 9}\) maszyn wyprodukuje \(\displaystyle{ 9x}\) wyrobów, w tym \(\displaystyle{ 5,8x}\) klasy I i \(\displaystyle{ 3,2x}\) innych klas.

Prawdopodobieństwo wylosowania produktu innej klasy wynosi \(\displaystyle{ p=\frac{3,2x}{9x}=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}}\).

Prawdopodobieństwo wylosowania trzech innych niż I klasy wynosi \(\displaystyle{ \left(\frac{16}{45}\right)^3}\).
Szukane prawdopodobieństwo wynosi oczywiście
\(\displaystyle{ P=1-\left(\frac{16}{45}\right)^3}\)
sandak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 kwie 2013, o 22:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow

Prawdopodobieństwo całkowite

Post autor: sandak »

Dzięki, sama już doszłam do tego rozwiązania rozpisując drzewko, nie wiem dlaczego wcześniej nie wpadłam na takie szybkie rozwiązanie
ODPOWIEDZ