wyznaczyć p

[rabbitvon]

Kot łowi codziennie i myszy i=1,2,3... z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{i}}\) i gdzie \(\displaystyle{ p_{1}= p_{2}=0.25}\) i \(\displaystyle{ p_{3}=0.5}\).Każdej złapanej myszy udaje się uciec niezależnie od innych myszy z prawdopodobieństwem równym p, a jesli jej się to nie uda, to kot ją zjada.Wiadomo ,że prawdopodobieństwa zdarzeń:A-kot zje dwie myszy dziennie oraz B -kot zje trzy myszy dziennie są równe.Wyznaczyć p.

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ 0.25 \cdot p}\) - prawdopodobieństwo niezjedzenia myszy 1
\(\displaystyle{ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)}\) - prawdopodobieństwo zjedzenia myszy 1
tak samo będzie dla myszy 2
\(\displaystyle{ 0.5 \cdot p}\) - prawdopodobieństwo niezjedzenia myszy 3
\(\displaystyle{ 0.5 \cdot \left( 1-p\right)}\) - prawdopodobieństwo zjedzenia myszy 3

Teraz można narysować drzewko "zje - nie zje"; najpierw dwie gałęzie (1. mysz), potem z każdej z dwóch gałęzi następne dwie (dotyczące 2. myszy) a potem trzeciej. Drzewko powinno się kończyć ośmioma gałęziami.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wynosi więc

\(\displaystyle{ P(A)=\left( 0.25 \cdot p\right) \cdot \left[ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)\right] \cdot \left[ 0.5 \cdot \left( 1-p\right)\right] \cdot \red 2 \black + \\ + \left( 0.5 \cdot p\right) \cdot \left[ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)\right] \cdot \left[ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)\right]}\)

Pomnożyliśmy przez \(\displaystyle{ \red 2}\) bo może zjeść albo 1 i 3, albo 2 i 3 (dla tych dwóch przypadków będą takie same prawdopodobieństwa).

Obliczamy \(\displaystyle{ P(B)}\):

\(\displaystyle{ P(B)=\left[ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)\right] \cdot \left[ 0.25 \cdot \left( 1-p\right)\right] \cdot \left[ 0.5 \cdot \left( 1-p\right)\right]}\)

teraz pozostaje rozwiązać równanie \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)...