Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Dwuwymiarowa zmienna loswa \(\displaystyle{ (X_1, X_2)}\) podlega rozkładowi normalnemu \(\displaystyle{ N\left( \left[ ^2_3 \right], \left[^3_1 \ ^1_5\right] \right)}\).
Niech \(\displaystyle{ W_1 = 2X_1 + X_2}\), \(\displaystyle{ W_2 = X_1 + X_2}\).
Znaleźć rozkład łączny zmiennej \(\displaystyle{ W = \left[ ^{W_1}_{W_2} \right]}\).
Dla ułatwienia, porównania odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \Sigma = \left[ ^{21}_{14} \ ^{14}_{10} \right]}\)
-- 2 kwietnia 2013, 20:40 --
Zrobiłem coś sam, ale nie mam pojęcia czy robię to wogle dobrze.
Na pewno wynik nie wyszedł taki jak w podpowiedzi do zadania.
Jeżeli ktoś by mógł się przyjrzeć i znaleźć błąd, albo powiedzieć co robię źle, będę wdzięczny.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ (X_1, X_2)}\) ma dwu wymiarowy rozkład normalny.
\(\displaystyle{ (X_1, X_2) \sim N\left( \left[ ^2_3 \right], \left[ ^3_1 \ ^1_5 \right] \right)}\)
Chcemy sprawdzić jakie parametry mają rozkłady normalne zmiennych \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\).
\(\displaystyle{ \mu = [2, 3]^T = [E(X_1), E(X_2)]^T = [\mu_1, \mu_2]^T}\)
\(\displaystyle{ \Sigma &=& \left[^3_1 \ ^1_5\right] \\
&=& \left[ Cov\left[X_1, X_2\right] \right] \\
&=& \left[ ^{E[(X_1 - \mu_1)^2]}_{E[(X_1 - \mu_1)\cdot(X_2 - \mu_2)]} \ ^{E[(X_1 - \mu_1) \cdot (X_2 - \mu_2)]}_{E[(X_2 - \mu_2)^2]} \right]}\)
\(\displaystyle{ \mu_i = E(X_i)}\)
Ponieważ wzór na wariancje to:
\(\displaystyle{ Var[X] = E[(X - \mu)^2]}\)
więc:
\(\displaystyle{ \sigma^2_1 = Var[X_1] = 3 \quad \wedge \quad \mu_1 = 2}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2_2 = Var[X_2] = 5 \quad \wedge \quad \mu_2 = 3}\)
\(\displaystyle{ X_1 \sim N(2, 3)}\)
\(\displaystyle{ X_2 \sim N(3, 5)}\)
Znamy już rozkłady \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) więc możemy przejść do wyliczenia rozkładów $W_1$ i $W_2$.
W tym celu skorzystamy z poniższego wzoru:
\(\displaystyle{ a \cdot X_1 + b \cdot X_2 \sim N(a \cdot \mu_1 + b \cdot \mu_2, a^2 \cdot \sigma^2_1 + b^2 \cdot \sigma^2_2)}\)
\(\displaystyle{ W_1 = 2 \cdot X_1 + X_2 \sim N(2 \cdot 2 + 1 \cdot 3, 2^2 \cdot 3 + 1^2 \cdot 5) = N(7, 17)}\)
\(\displaystyle{ W_2 = X_1 + X_2 \sim N(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3, 1^2 \cdot 3 + 1^2 \cdot 5) = N(5, 8)}\)
Czyli \(\displaystyle{ W}\) jest rozkładu:
\(\displaystyle{ W \sim \left[^{W_1}_{W_2}\right] \sim N\left( \left[^7_5\right], \left[^{17}_{?} \ ^{?}_{8}\right] \right)}\)