Witam.
Mam problem z następującym zadaniem:
Urna zawiera \(\displaystyle{ k}\) kul, białe lub czarne, przy czym każda możliwa ilość kul białych jest równie prawdopodobna. Dokładamy jedną kulę białą, po czym losujemy z niej jedną kulę. Jeśli \(\displaystyle{ p_k}\) oznacza prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, oblicz \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty} p_k}\).
Ja to zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowano kulę białą
\(\displaystyle{ N_n}\) - początkowo w urnie było \(\displaystyle{ n}\) kul białych
\(\displaystyle{ P(N_n) = \frac{1}{k+1}}\)
\(\displaystyle{ P(B|N_n)=\frac{n+1}{k+1}}\)
Więc prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) dane jest wzorem:
\(\displaystyle{ P(B)=\sum_{i=0}^{k}P(B|N_i)\cdot P(N_i)}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{(k+1)^2}\sum_{i=0}^{k}(i+1) = \frac{1}{(k+1)^2}\left(k+1+\sum_{i=0}^{k}i\right)}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{k+1+\frac{k(k+1)}{2}}{(k+1)^2} = \frac{k+2}{2k+2}=p_k}\)
\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty} p_k = \lim_{k \to \infty} \frac{k+2}{2k+2} = \lim_{k \to \infty} \frac{1+\frac{2}{k}}{2+\frac{2}{k}} = \frac{1}{2}}\)
Czy zadanie jest rozwiązane poprawnie?
edit: Modyfikacja, \(\displaystyle{ P(N_n) = \frac{1}{k+1} \neq \frac{1}{k}}\)
edit2: Modyfikacja, sumowanie od \(\displaystyle{ 0}\)