Znalazłem w necie takie zadanie, a nie bardzo wiem jak to rozwiązać. Mógłby ktoś podesłać wynik albo wytłumaczyć metodę?
Poruszamy się po okręgu według następującej zasady: startując z ustalonego punktu posuwamy się z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) o jedną czwartą cześć okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara i z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) posuwamy się o jedną trzecią część okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Jakie jest prawdopodobieństwo, że startując z ustalonego punktu i poruszając się według tej zasady znajdziemy się po 24 krokach w punkcie startu?
Trudne prawodopodobieństwo
-
Cwany_Lutek
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 3 maja 2011, o 09:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kudowa
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trudne prawodopodobieństwo
Niech \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{24}}\) będą miały rozkład dwupunktowy:
\(\displaystyle{ P(X_{i}=\frac{1}{4})=\frac{1}{2} \ P(X_{i}=-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}}\)
W zadaniu mamy policzyć \(\displaystyle{ P((\sum_{i=1}^{24}X_{i})\in \mathbb{Z})}\).
Niech \(\displaystyle{ A:=\{i;X_{i}=\frac{1}{4}\} \ B:=\{i;X_{i}=-\frac{1}{3}\}}\)
Łatwo zauważyć, że żeby \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{24}X_{i}\in \mathbb{Z}}\) musi być spełnione \(\displaystyle{ (4||A|)\wedge (3||B|)}\). Oczywiście również \(\displaystyle{ |A|+|B|=24}\) zatem wiemy, że \(\displaystyle{ \{|A|,|B|\}\in \{\{0,24\},\{12,12\},\{24,0\}\}}\). Niech \(\displaystyle{ X \sim B(24,\frac{1}{2})}\) Oczywistym jest, że wtedy \(\displaystyle{ P((\sum_{i=1}^{24}X_{i})\in \mathbb{Z}) =P(X=0)+P(X=24)+P(X=12)=2\cdot (\frac{1}{2})^{24}+{24\choose 12}(\frac{1}{2})^{24}=\frac{2+\frac{24!}{12!^{2}}}{2^{24}}}\).
Metoda powinna być jasna, sprawdź jeszcze poszczególne rachunki.
\(\displaystyle{ P(X_{i}=\frac{1}{4})=\frac{1}{2} \ P(X_{i}=-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}}\)
W zadaniu mamy policzyć \(\displaystyle{ P((\sum_{i=1}^{24}X_{i})\in \mathbb{Z})}\).
Niech \(\displaystyle{ A:=\{i;X_{i}=\frac{1}{4}\} \ B:=\{i;X_{i}=-\frac{1}{3}\}}\)
Łatwo zauważyć, że żeby \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{24}X_{i}\in \mathbb{Z}}\) musi być spełnione \(\displaystyle{ (4||A|)\wedge (3||B|)}\). Oczywiście również \(\displaystyle{ |A|+|B|=24}\) zatem wiemy, że \(\displaystyle{ \{|A|,|B|\}\in \{\{0,24\},\{12,12\},\{24,0\}\}}\). Niech \(\displaystyle{ X \sim B(24,\frac{1}{2})}\) Oczywistym jest, że wtedy \(\displaystyle{ P((\sum_{i=1}^{24}X_{i})\in \mathbb{Z}) =P(X=0)+P(X=24)+P(X=12)=2\cdot (\frac{1}{2})^{24}+{24\choose 12}(\frac{1}{2})^{24}=\frac{2+\frac{24!}{12!^{2}}}{2^{24}}}\).
Metoda powinna być jasna, sprawdź jeszcze poszczególne rachunki.